可微的几何意义.pptVIP

*可微的几何意义 §10.3 多元函数微分法 用 h 和 d 分别表示点 Q 到直线 PT 的距离 和点 Q 到点 P 的距离, 由于 图 1 三、可微的几何意义 定义 3 设曲面 S 上一 一个平面, S 上的动点 仿照这个想法, 我们引 进曲面 S 在点 M 的切平 面的定义(参见图2). 图 2 当 Q 在 S 上以任意方式趋近于 M 时, 有 点 M, 为通过点 M 的 Q 到定点 M 和到平面 的距离分别记为 d 和 h. 若 定理 3 则称 为曲面 S 在点 M的切平面, 称 M 为切点. 讨论过点 由于 S 上动点 到 的距离为 M 到 Q 的距离为 根据定义 便知平面 即为曲面 P 的切平面． 第一步 设 Q(x, y, z) 是曲面上任意一点, 由 Q 到这 个平面的距离为 令 由切平面的定义知道, 当 时, 有 因 此对于充分接近的 M 与 Q, 有 由此则得 因此, 想要证得当 第二步 分析: 要证明 在点 可微, 事实 上就是需证 第三步 先证 可推得 故有 第四步 由上式进一步可得 根据第二步的分析，这就证得在点 可微. 处的切平面方程为 过切点 M 与切平面垂直的直线称为曲面在点 M 的 由切平面方程知道，法向量为 于是过切点 M 的法线方程为 法线.