南理工高等数学下第8章 多元函数微分法及其应用8-2.ppt

一、偏导数 二、全微分 三、小结 习惯上，记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 解 所求全微分 解 解 所求全微分 证 令 则 同理 不存在. 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 全微分在近似计算中的应用 也可写成 解 由公式得 偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数 （偏增量比的极限） 纯偏导 混合偏导 （相等的条件） 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在 处 解 证 原结论成立． 解 不存在． 证 有关偏导数的几点说明： １、 ２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 ３、偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 4、偏导数的几何意义 如图 几何意义: 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 高阶偏导数 解 原函数图形 偏导函数图形 偏导函数图形 二阶混合偏导函数图形 观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系： 解 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 解 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 全增量的概念 全微分的定义 事实上 可微的条件 证 总成立, 同理可得 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， 则 当 时， 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 证 （依偏导数的连续性） 同理