十三章 能量方法.pptVIP

常见图形面积和形心 常见图形面积和形心（续） 常见图形面积和形心（续） 习题补充 内容补充 代入莫尔积分公式 AB段 BC段 C B A x1 x2 1 负号表示与所画方向相反 §10-8 图形互乘法 应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分： 对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需 计算积分 外载作用下的弯矩方程 单位载荷作用下的弯矩方程 l 1 图乘法： 莫尔积分的图形计算方法 2 计算公式： M x x y 积分 因单位力为集中力，产生的弯矩图为一斜直线，有 ——M(x)图对y轴的静矩 M(x)图形心 ：M(x)图面积 xC O C x dx x M(x) 3 图乘法计算公式及说明 说明:1) 2)弯矩乘积正负规定，单位载荷弯矩图与实际载荷弯矩图在坐标同侧，则结果应为正，异侧为负。 莫尔积分——可用原载荷弯矩图的面积与该图形形心位置所对应的单位载荷(直线)的弯矩图的幅度之积代替。 — M(x)图面积； —M(x)图形心对应的 值。 三角形 开口向下抛物线 开口向上抛物线 例1：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度。 C B l A P Pl M 1 l 例1 用图乘法求C点的水平位移。（EI、EA 已知） b x2 A B C a x1 F x2 A B C x1 F=1 CB段：纯弯曲 C B F Fa M(x) a 例1 用图乘法求C点的水平位移。（EI、EA 已知） b x2 A B F=1 AB段：压缩+弯曲 x2 A F Fa B Fa=a Fa M(x) a 1 F 例2 用图乘法求C点的挠度和转角。等截面直梁（EI已知）。 解：1.画弯矩图 a a A C B F =1 x x q a a A C B qa qa qa2/2 1/2 1/2 a/2 例2 图乘法求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁（EI已知）。 2.图乘公式 qa2/2 a/2 4 求转角加单位力偶, 画弯矩图 q a a A C B M =1 a a A C B qa2/2 1/2 1/2 练习图示刚架，已知两杆E=200GPa，I=3000cm。试用图乘法求D截 面处的水平位移和转角。P=10kN，l=1m。 4 解：1）求D处水平位移，在D处加单位力，并分别作出单位力和原载荷对应 的弯矩图，如图（b）、（c)，再图乘： P l l 2l 2P A B C D (a) 1 2l (b) 2Pl P 2P (c) 例3 用单位力法求BD两点的相对位移。（EA已知） F A D B C L L L L F=1 A D B C F=1 3 变形 解：1 加单位力 2 求内力（如图所示） 0 0 0 -F 1 * * 第十三章 能量法 §13–1 概述 §13–2 应变能 杆件应变能计算 §13–4 互等定理 §13–3 应变能的普遍表达式 §13–5 虚功原理 §13–6 单位荷载法 莫尔积分 §13–7 莫尔积分的图乘法 §13–1 概述 一、能量原理 弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功： 利用能量原理计算变形固体响应的方法称为能量方法。 三、重要性 1．原理清晰，方法统一； 2．适用于线弹性、非线性等多类问题； 3．可求解静定与超静定问题 二、能量法 一、杆件应变能的计算 1.拉压杆的应变能 §13–2 应变能的计算 应变能密度： 基本公式： 若内力是x的函数： 2.扭转轴的应变能 应变能密度 基本公式： 若T是x的函数： 3.弯曲梁的应变能 对细长梁，剪力引起的变形能与弯矩引起的变形能相比很小，通常可忽略不计。 纯弯曲梁段内各截面弯矩M相等，为常数。 基本公式： 若弯矩是x的函数，则 一、杆件应变能-基本公式总结 §13–2 应变能的计算 弯曲梁： 拉压杆： 扭转轴： 基本杆件的变形能计算公式应用-1 内力方程和内力图： 应变能： 如图所示，长为 l的杆件，受均布拉伸载荷q作用，已知横截面性质EA ，求杆件的应变能。 x ql q x轴从右到左 基本杆件的变形能计算公式应用-2 弯矩方程和弯矩图分别为： 应变能： P 如图所示，杆长为 l 的悬臂梁，右端受集中力P作用，已知横截面性质EI ，求梁的应变能。 x M Pl x轴从右到左 4．广义力和广义位移 1）广义力泛指力与力矩 3）线弹性情况下，广义力与广义位移成线性关系 2）广义位移是与广义力所对应的位移， 如力产生线位移，力矩产生转角 4．广义力和广义位移 线弹性材料的变形能—三类基本杆件统一表示： 非线性弹性材料的变形能： 构件的应变能： F1 F2 F3 §13–3 应变能的普遍表达式 1.克拉贝依隆原理 等比例加载，引进参数β (0～1)，则加载过程中 广义外力的中间值