多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现.docVIP

多目標線性規劃的若干解法及MATLAB實現 摘要：求解多目標線性規劃的基本思想大都是將多目標問題轉化為單目標規劃，本文介紹了理想點法、線性加權和法、最大最小法、目標規劃法，然後給出多目標線性規劃的模糊數學解法，最後對每種解法給出例子，並用Matlab軟體加以實現。 關鍵字：多目標線性規劃 Matlab 模糊數學 一．引言 多目標線性規劃是多目標最優化理論的重要組成部分，由於多個目標之間的矛盾性和不可公度性,要求使所有目標均達到最優解是不可能的,因此多目標規劃問題往往只是求其有效解(非劣解)。目前求解多目標線性規劃問題有效解的方法,有理想點法、線性加權和法、最大最小法、目標規劃法，然而這些方法對多目標偏好資訊的確定、處理等方面的研究工作較少，本文也給出多目標線性規劃的模糊數學解法。 二．多目標線性規劃模型 　 多目標線性規劃有著兩個和兩個以上的目標函數,且目標函數和約束條件全是線性函數,其數學模型表示為： （1） 約束條件為： （2） 若（1）式中只有一個，則該問題為典型的單目標線性規劃。我們記:,,,，. 則上述多目標線性規劃可用矩陣形式表示為: 約束條件： （3） 三．MATLAB優化工具箱常用函數 在MATLAB軟體中，有幾個專門求解最優化問題的函數，如求線性規劃問題的linprog、求有約束非線性函數的fmincon、求最大最小化問題的fminimax、求多目標達到問題的fgoalattain等,它們的調用形式分別為： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f為目標函數係數,A,b為不等式約束的係數, Aeq,beq為等式約束係數, lb,ub為x的下限和上限, fval求解的x所對應的值。 演算法原理：單純形法的改進方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub） fun為目標函數的M函數, x0為初值,A,b為不等式約束的係數, Aeq,beq為等式約束係數, lb,ub為x的下限和上限, fval求解的x所對應的值。 演算法原理：基於K-T（Kuhn-Tucker）方程解的方法。 ③.[x,fval ]=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) fun為目標函數的M函數, x0為初值,A,b為不等式約束的係數, Aeq,beq為等式約束係數, lb,ub為x的下限和上限, fval求解的x所對應的值。 演算法原理：序列二次規劃法。 ④.[x,fval ]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) fun為目標函數的M函數, x0為初值,goal變數為目標函數希望達到的向量值, wight 參數指定目標函數間的權重,A,b為不等式約束的係數, Aeq,beq為等式約束係數, lb,ub為x的下限和上限, fval求解的x所對應的值。 演算法原理：目標達到法。 四．多目標線性規劃的求解方法及MATLAB實現 4.1理想點法 在（3）中，先求解個單目標問題：，設其最優值為，稱為值域中的一個理想點，因為一般很難達到。於是，在期望的某種度量之下，尋求距離最近的作為近似值。一種最直接的方法是最短距離理想點法，構造評價函數 ， 然後極小化，即求解 ， 並將它的最優解作為（3）在這種意義下的“最優解”。 例1：利用理想點法求解 解：先分別對單目標求解： ①求解最優解的MATLAB程式為 f=[3;-2]; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0]; [x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb) 結果輸出為：x = 0.0000 6.0000 fval = -12.0000 即最優解為12. ②求解最優解的MATLAB程式為 f=[-4;-3]; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0]; [x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb) 結果輸出為：x =3.0000 4.0000 fval =-24.0000 即最優解為24. 於是得到理想點：（12，24）. 然後求如下模型的最優解 MATLAB程式如下： A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; x0=[1;1]; lb=[0;0]; x=fmincon(((-3*x(1)+2*x(2)-12)^2+(4*x(1)+3*x(2)-24)^2)^(1/2),x0,A,b,[],[],lb,[]) 結果輸出為：x = 0.5268 5.6488 則對應的目標值分別為