二数列的极限.pptVIP

长春工业大学 高等数学 长春工业大学 高等数学 第二节 数列的极限 一、 数列极限的定义 二、 收敛数列的性质 一、数列极限的定义 概念的引入 正六边形的面积A1 正 形的面积 正十二边形的面积A2 计算圆的面积 1. 数列的概念 按照某一法则, 对每一n?N?, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, ? ? ? , xn , ? ? ? , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 第n项xn叫做数列的一般项. 2, 4, 8, ? ? ? , 2n , ? ? ? ; 1, -1, 1, ? ? ? , (-1)n+1, ? ? ? . 注意： (1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 (2).数列是整标函数 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过观察:当n无限增大时, 无限接近于1. 引例 观察数列 时的变化趋势. 2. 数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为 a x n n = ￥ ? lim . 当n无限增大时, xn无限接近于a . ?当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . ?当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. ?当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数. 因此, 若 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给 定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近常数a. 3. 数列极限的精确定义 设{xn}为一数列? 如果存在常数a? 对于任意给定的正 数e ? 总存在正整数N? 使得当nN 时? 不等式 |xn?a |e 都成立? 则称常数a是数列{xn}的极限? 或者称数列{xn}收 敛于a? 记为 或 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 习惯上也说 极限定义的简记形式 ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 注： (1).e 的任意性，它是描述xn 与a 的无限接近程度. (2). N 与ε有关，但不唯一. (3) 几何解释: (4).数列极限的定义未给出求极限的方法. 当 nN 时,所有的点xn 都落在开区间(a-e,a+e) ,只有 有限个(至多只有N个)落在这区间以外. 证明 例1 证明 对于任意e 0,要使|xn-1|e, 只要 e n 1 ,即 e 1 n 分析 则当nN 时,就有 即 例2 证明 分析 证明 (设 ), 要使 或 只要 则当nN 时,就有 所以 例3 设|q|1, 证明等比数列 1, q , q2, ? ? ? , qn-1, ? ? ? 的极限是0. 分析 要使 只要 取自然对数,得 证明 则当nN 时,就有 所以 二、 收敛数列的性质 定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛? 那么它的极限唯一? 证明 : 假设同时有 a x n n = ￥ ? lim 及 b x n n = ￥ ? lim , 且 a b . 按极限的定义 , 对于 2 a b - = e 0 , 存在充分大的 正整数 N , 使当nN时, 同时有 | x n - a | 2 a b - = e 及 | x n - b | 2 a b - = e , 因此同时有 2 a b x n + 及 2 a b x n + , 这是不可能的. 所以只能有a=b. 例4. 证明数列 是发散的. 证明: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 定理2 (收敛数列的有界性) 收敛数列{xn}一定有界. 证: 设 取 则 当 时, 有 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 注 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 数列 定理3(收敛数列的保号性) ? 若 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起