东南大学几何与代数四全部.pptVIP

* 说明基不唯一， 为后面讲基变换做铺垫。 说明可逆有两种方法 1 秩； 2 有两个向量组可以相互线性表示， 推出CD=E。 问：为何可求逆？ * * * 有没有其它的方法？（该方法下次课可以不讲） * 想想“标准”在这里的作用 * * * ? 定理4.15. ?* ——是 Ax = b 的一个特解 ?1, …, ?n?r —— Ax = ? 的基础解系 Ax = b的通解为 x = ?* + k1?1 +…+kn?r?n?r . 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 Ax =b 的一般解 ? 3. 解非齐次线性方程组Am?n x = b的一般步骤 [A b] 初等 行变换 行 阶 梯 形 秩(A) = 秩([A b])? 简 化 阶 梯 形 求得Ax=b的特解和Ax=?的基础解系 无解 N 初等 行变换 Y 求得Ax=b 的一般解 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 ? 例3. 求方程组 的一般解. 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 3 2 1 1 -2 1 3 -2 4 1 7 4 11 8 0 5 3 初等行变换 3 2 1 1 -2 0 -1 0 -4 1 11 0 0 -4 3 0 9 初等行变换 0 0 -19/2 4 71/2 0 1 0 4 -1 -11 0 0 1 -3/4 0 -9/4 ? 四. 在解析几何中的应用 1. 两直线的相对位置 A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 L1: L2: A3x + B3y + C3z + D3 = 0 A4x + B4y + C4z + D4 = 0 记A = A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 A4 B4 C4 , D = ?D1 ?D2 ?D3 ?D4 . 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 ? 1. 两直线的相对位置 [A,D] = A1 B1 C1 ?D1 A2 B2 C2 ?D2 A3 B3 C3 ?D3 A4 B4 C4 ?D4 . 重 合 相 交 平 行 异 面 无穷多解 唯一解 无 解 位置关系 Ax=D 秩 无 解 r(A)=r(A,D) =2 r(A)=r(A,D) =3 r(A)=2, r(A,D)=3 r(A)=3, r(A,D)=4 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 有其它判断方法 ? 2. 三平面的相对位置 ?1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ?2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ?3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0 记A = A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 , [A,D] = A1 B1 C1 ?D1 A2 B2 C2 ?D2 A3 B3 C3 ?D3 . D = ?D1 ?D2 ?D3 . 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 ? 重 合 交于一线 交于一点 无交点 无穷多解 位置关系 Ax=D 秩 无 解 r(A)=r(A,D) =1 r(A)=r(A,D) =2 r(A)=r(A,D) =3 r(A)+1= r(A,D) 2. 三平面的相对位置 [A,D] = A1 B1 C1 ?D1 A2 B2 C2 ?D2 A3 B3 C3 ?D3 . 唯一解 无穷多解 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 例4 讨论下列三个平面的相对位置. ?1 : x+y+bz=3; ?2 : 2x+(a+1)y+(b+1)z =7; ?3 : (1-a)y + (2b-1)z =0. 其中，a, b 是参数. 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 注：一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在剩下的范围内，a,b 是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系. ? 例5. 证明 r(ATA)=r(A). 证明: 设A为m?n的矩阵, x为n维列向量. 注意到Ax = ? ? (ATA)x = ? 同时，由(ATA)x = ?