一次函数知识要点及例题解析 2.docVIP

一次函数知识要点及例题解析 [数学名言] “数与形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微”. ---华罗庚 [基础知识精要] 在生动活泼的数学世界里，我们总会发现两个量之间存在着对应关系，函数就是对应关系的产物，学好函数知识熟练掌握数形结合的思想，对研究物理、化学等学科有着极其重要意义，今天我引大家进入丰富多彩的函数（function）迷宫！ 1.知识结构 确定一次函数表达式 一次函数的图像 函数 一次函数 一次函数图像的应用 2.有关概念 2.1函数（function）定义： 设在一个变化过程中,有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应就确定了一个y的值，就说y是x的函数．x是自变量，y是因变量. 要理解函数的概念需要注意两点： 第一，自变量x必须要在“特定意义范围内取值”,如表达式是： 1.整式，x取一切实数； 2.分式，x取分母不为零的数； 3.二次根式，x取使被开方数为非负数的数，三次根式，则x取一切实数； 4. 实际问题则根据实际需要来确定. 第二.函数关系是变量x与y的一种特殊对应关系（呈现方式可以是表达式、图象或表格），而且对自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应．所谓“唯一”就是有一个且只有一个． 2.2一次函数（linear function）定义： 函数(，，是常数)叫一次函数.特别地当时，()叫正比例函数. 2. 3一次函数的图象(graph)： 一次函数的图象是一条直线.一般画两点A（）,B，然后经过这两点作直线即可； 性质： 直线，在直角坐标系中的位置由常数、的符号决定， 当时，经过一、二、三象限； 当时，经过一、三、四象限； 当 时，经过一、二、四象限； 当时，经过二、三、四象限. 当k0时，随着的增大而增大； 当k0时，随着的增大而减小， 增减性与无关.这里的值可以决定直线倾斜的方向，的值可以决定直线与轴相交的交点的位置. 2.4一次函数图象的应用： 为了更好地生存，我们必须在理财、购物、贸易、车房、抗害、战争等领域进行风险分析和预测，我们通常利用物量的线性关系（即一次函数关系）进行理性地决策，通过对一次函数知识研究，能够提升分析问题和解决问题的能力. [重难点突破] 一次函数的重点是概念、图象和性质．一次函数是最基本函数．学习一次函数后，对研究函数的基本方法有了初步的认识．可以推动反比例函数和二次函数甚至高中各类函数的学习．难点是学习一次函数时，要注意与一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组的联系，在学习图象时，要与几何知识相联系． 1.如何掌握一次函数的概念、图象和性质． [例题1] 已知：是一次函数，求的值. 解：由题意得：0，且 ，或（舍去） 因此，. 解后反思： 一次函数中：≠0，自变量的最高次项的次数为1. 易错点：忽视0这一限制条件而出错. 变式：一次函数中，如何确定函数值的增减性？如果把本题改为是一次函数，且随着的增大而减小，请你求的值。 [例题2] 已知，直线与平行，且过点（1，-2），请问直线不经过哪个象限？ 解： 由题意得： ， ； 又： -2=3×1＋， ； 即直线不经过第一象限. 解后反思： 直线y=+与直线y=平行，即，反之亦然； 直线经过点（），或点（）在直线上，则满足关系式，就是. 题中直线中，. 易错点：本题提到的直线有三条，要搞清是对哪条直线提出问题；另外，有的同学审题粗心易回答成经过的象限. [例题3] 如图所示，已知直线交轴于点B，交轴于点A，求： （1）与的函数关系式；（2）AOB的周长和面积； 解：（1）直线中，设：， 点A（0，2）在直线上，； 又B（3，0）在直线上，； 因此，. （2）从图象观察得，OA=2，OB=3， 由勾股定理得，， AOB的周长为：OA+OB+AB=5+（单位长度）； AOB的面积为：S（单位平方） 解后反思： 确定一次函数的表达式，就是求待定系数，．一般已知直线上两双不同对应值，可以得到两个方程，求出，. 第二小题，是涉及函数与几何的综合题，根据勾股定理、三角形有关性质等知识，运用数形结合的思想求得. 易错点：用坐标表达线段长度时，要注意加绝对值符号，如P（0，-7），则OP=|-7|=7 变式：如果本题改为直线交轴于点A，交轴于点B，且AOB的面积为3，求的值. 错解：直线在轴上的点A（，0），轴上的点B（0，2）， S==， 因此， 正解：OA=，OB=|2|=2， =， . 二、衣食住行离不开数学，我们如何学以致用？ [例题4] 衣的问题：妈妈在用洗衣机洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、