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由一道高考题引发高观点思索 　　摘 要：运用高观点将2011年高考浙江卷理科16题放在三维空间，从二元函数的角度来考察、分析，发现这道考题的高等数学背景和本质，就是求多元函数条件极值、最值问题，剖析了中学阶段求解此类问题常用的判别式法的法理. 对于在各类数学考试和竞赛中常出现的二次型条件最值问题，都可利用拉格朗日乘数法加以解决. 关键词：高考数学；试题解析；拉格朗日乘数法；最值 ■众多解法引人思考 设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______？摇. （2011年高考浙江卷理科16），此题是2011年高考浙江理科卷的亮点之作，入口宽，方法多，据笔者不完全统计，截止2012年12月底全国各种数学杂志针对本题的的解法刊发了近10余篇文章，介绍了近20种解法，笔者将这些方法分为五大类：（1）不等式法：适当改变式子结构利用基本不等式、柯西不等式等放缩求解；（2）三角函数法：在函数思想指引下通过换元、构造转化为三角函数的最值问题；（3）数形结合法：通过巧妙的坐标变换转化为直线与椭圆的位置关系问题；（4）判别式法：在方程观点指引下引入恰当的变量，构造相应的二次方程，利用判别式来解决问题；（5）待定系数法：引入参数，巧设关系式，神秘求解. 纵览这些解法，所用的知识与方法覆盖了高中数学大部分的核心内容与思想方法，有通性通法，也有独门绝技. 由此可见，这的确是一道有丰富内涵的经典好题，那么这道题的背景和本质是什么，有没有解决此类问题的统一方法，像待定系数法很神秘巧妙又是如何想到的？这些都值得思考和研究. 笔者认为：本文中的解法1较好地揭示了该题在二维平面视野下的背景和本质，分析与解法如下. 思路：注意到二次方程4x2+y2+xy=1表示圆锥曲线（对称轴不重合于坐标轴），整体变量m=2x+y表示斜率为-2的平行直线系y=-2x+m的截距，即当直线与圆锥曲线有公共点时求直线截距m的最大值，显然当直线y=-2x+m与此椭圆相切且切点D在第一象限时，截距m最大，可用导数法求解. ■ 图1 解法1：由于圆锥曲线4x2+y2+xy=1关于原点O（0，0）对称，且没有无穷原点，所以此圆锥曲线是椭圆. 根据数形结合的思想，当直线y=-2x+m与此椭圆相切且切点D在第一象限时，截距m最大. 二次方程4x2+y2+xy=1两边关于x求导数得 8x+2y?y′x+（y+x?y′x）=0. 设切点D（x0，y0），其中x00，y00，取y′x=-2，代入得到方程 8x0+2y0?（-2）+[y0+x0?（-2）]=0，4x■+y■+x0y0=1， 解得，当x0=■，y0=■时，2x+y取得的最大值是■. 若将此问题放在三维空间，从二元函数的角度来考察、分析，便会发现这道高考题的高等数学背景和本质，就是求多元函数条件极值、最值问题. 令f（x，y）=2x+y，φ（x，y）=4x2+y2+xy-1，则问题变为求函数z=f（x，y），在条件φ（x，y）=0下的最大值. 此类问题一般的解题思路是从φ（x，y）=0中解得y=g（x），代入z=f（x，y），从而消去y转换为求关于x的一元函数z=f（x，g（x）），在其定义域φ（x，g（x））=0上的最值问题，然而一般情况下要从φ（x，y）=0在解出y=g（x）并不总是容易的，甚至根本无法解出，但有一种不直接依赖消元而求解条件最值的有效方法：拉格朗日乘数法. ■拉格朗日（Lagrange）乘数法 求函数z=f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0之下的极值. 分析：记C为曲面z=f（x，y）上一条曲线，则C在平面：z=0的投影为曲线φ（x，y）=0. 因此，求条件极大（小）值的问题就相当于在空间曲线C上求极大（小）值的问题，从几何图形角度讲就是寻找曲线C的最高（低）点问题. 若在曲面z=f（x，y）上作一系列等高线t=f（x，y）， 当t从-∞单调上升+∞时，此一族等高线与条件曲线C有相交、相切及相离三种情况，容易看出当相切时z=f（x，y）取到极大（小）值z0=f（p0）. 若站在二维平面的角度来看就是曲面z=f（x，y）的等高线f（p0）=f（x，y）与曲线C在平面：z=0的投影曲线φ（x，y）=0在极值点p0处具有公共切线（如图2）. ■ 由此看来，曲线C在整个问题中起重要作用，我们作一带参数λ的曲面族使每一曲面都经过曲线C，由几何形状可以断定曲线C存在最高（低）点，即变量z？摇必然存在极大（小）值. 利用拉格朗日乘数法，可求得极值点的坐标，从而求得目标函数的极、最值. 作拉格朗日（Lagrange）函数 L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y） （称其中