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一种测地线活动轮廓模型的快速水平集方法-西北大学学报
西北大学学报( 自然科学网络版) 2008 年 1 月,第 6 卷,第 1 期
Science Journal of Northwest University Online Jan. 2008 ,Vol.6 ,No.1
一种测地线活动轮廓模型的快速水平集方法
王红喜;张 博;王 强
(西北大学 数学系,陕西 西安,710127 )
摘 要: 以几何曲线的演化为基础,利用变分法,给出测地线活动轮廓模型的快速水平集方法。实
验表明,该方法可行,稳定,降低了用传统水平集方法实现测地线活动轮廓模型的计算复杂度,比
传统的水平集方法更实用,更高效。
关 键 词:测地线活动轮廓;变分法;水平集
中图分类号:TP301 文献标识码:A 文章编号:1000-274X(2008)0310-05
G .Sapiro 提出的测地线活动轮廓模型 GAC (Geodesic active contour )[1]是目前基于偏微分方程(PDE )
方法的图像分割中最基本的活动轮廓模型之一。测地线活动轮廓模型是将图像分割问题归结为最小化一个
封闭曲线(活动轮廓)的“能量”泛函。在利用传统的水平集方法实现该模型的过程中,需采用迎风方案做
数值实现[1−3],并且,在演化过程中需要进行速度场的延拓,因而每迭代一定次数,就要对水平集函数重
新初始化。同时,为了使求解中保持解的稳定性,其迭代步长被限制在很小的范围内,使得算法效率较低。
本文提出的测地线活动轮廓模型的快速水平集方法,在几何曲线演化的基础上,寻找几何封闭曲线的
一个嵌入函数,并进一步得到一个关于嵌入函数的泛函,再采用变分法求出泛函的梯度下降流,从而得到
关于嵌入函数的演化方程。该方法所得到的演化方程直接针对嵌入函数,因而不需要速度场的延拓,而且,
由于在泛函中加入了保持嵌入函数为一有效的距离函数的项,从而避免了水平集函数的重新初始化,同时
得到的演化方程属于抛物型扩散方程,不存在自发的奇异性,因而不必采用迎风方案做数值实现,其迭代
步长可取的较大一些,降低了计算的复杂度。然后利用带有图像信息的活动轮廓线取代上述的几何曲线,
得到测地线活动轮廓模型。数值实验表明,该方法可行、稳定,并且较传统的水平集方法的计算复杂度低。
1 几何曲线演化的快速水平集方法
1.1 水平集方法
传统的曲线演化的水平集方法,对于一条给定的平面闭合曲线 C ,选用一个恰当形式的嵌入函数
u(x, y) : R2 →R 来隐式地表示曲线,通常将 C 作为u 的零水平集,即:C {(x , y ) :u(x , y ) 0} 。于是,
关于曲线C 的演化可以通过u 的演化来代替。在演化过程中,只需要检测u 的零水平集即可得曲线的演化
结果结一般的,曲线C 及其水平集函数的演化方程有如下关系 [1,2]
∂C r ∂u
FN F ∇u (1)
∂t ∂t
其中F 为沿曲线法方向演化的速度。通常嵌入函数u(x, y) 可以选用平面上点(x , y ) 到封闭曲线C 的符号距
离函数,即
_______________________
收稿日期:2006-11-11
基金项目:陕西省自然科学基金资助项目(2003A07 )
审 稿 人:康宝生,男,西北大学信息科学学院教授。
⎧d[(x,y),C] (x,y) ∈Ω
⎪
u(x,y) ⎨ 0 (x,y) ∈∂Ω
⎪
−d[(x,y),C] (x,y) ∉Ω
⎩
其中,Ω为C 所包含的区域。
定 理 若 u 为上述方法构造的符号距离函数,则 ∇u
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