复变函数疑难问题分析.docVIP

复变函数疑难问题分析 1. 设，。 1）函数在区域中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？ 答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为为非孤立的奇点。 2. “函数在z平面上是有界的”是否正确？ 在平面上无界。 这是因为，令，则 3. “函数为周期函数” 是否正确？ 是以为周期的函数。因为，，为整数 4. “是解析函数” 是否正确？ 在平面上不解析。因为，所以， 所以，，， 但是，所以，在平面上处处不满足条件 所以在平面上不解析。 5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。 （1）复球面上与点对应的复数； （2）复数1+i与复球面上的那个点； （3）简要说明如何定义扩充复平面。 解：（1）建立空间直角坐标系（以点为原点，为轴正半轴），则过点与点的直线方程为。当时，，所以与复数对应。 （2）复数的空间坐标为。则直线方程与球面相交，其交点为， （3）平面上以个模为无穷大的假想点一北极相对应，复平面上加上后称为扩充复平面。 6．说明复变函数可微性与解析性的关系。 复变函数在点处可导，又称为可微，而在处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称在处是解析的。 所以（1）在点处可导(可微)，但不一定在处是解析的， （2）在处解析是指在处的某个邻域内任一点处均可导， （3）在区域内可微与在区域内解析是等价的。 7．在区域：上解析且有无穷多个零点，但在区域上不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？ 在区域，内有无穷多个零点，但，但，而区域是去心邻域，在点无意义，所以在处是不解析的，也即在内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。 8.复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么? 答.不一定．反例: 发散 但收敛；发散； 收敛. 9.下列说法是否正确?为什么? (1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. (2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点. 答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的. 10. 为什么区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？ 因为当取实数值时，与的泰勒级数展开式是完全一致的，而在内，的展开式的系数都是实数。所以，在区域内，展开成的幂级数时，它的系数都是实数。 11.由 因为,所以有结果 请解释错误的原因。 答:因为要求 而要求 所以,在不同区域内 12.是函数的孤立奇点吗？为什么？ 解: 因为的奇点有 所以在的任意去心邻域，总包括奇点，当时，z=0。 从而不是的孤立奇点. 13. 函数在处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式： 　　　　. 我们得到“又是的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么? 解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在内得到的 在内的罗朗展开式为 14. 如何证明当时，和都趋于无穷大？ 证明： ∴ 而 当时，，有． 当时，，有． 同理得 所以当时有． 15. 设函数在内解析，且沿任何圆周C：，的积分为零，问是否需在处解析？试举例说明之。 解： 不一定。如令，则其在内解析，且沿任何圆周C：，的积分 但显然在处不解析。 16.设在 单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，问积分是否为零？为什么？ 解： 等于零。因在D内解析，故具有各阶导数且仍为解析函数，从而在D内也解析，又因在D内，故在D内解析，从而在C上及C的内部也解析，于是由Cauchy-Gourssat定理，有 17. 设 在原点是否满足条件，是否可微？ 解： ， 同理。 从而在原点满足条件。 又 = 当沿时 故在原点不可微 18. 在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得，请举出一个例子． 例如： 在平面上处处不可微． 证明：不难看出在平