称为机率密度函数probabilitydensityfunction.ppt

範例 8.2 P(X 1,100) = P( Z 1.00) = .8413 第8章 連續機率分配 第281頁 圖8.12 財務上的應用: 測量風險 在7.3節中，我們發展了一項在財務上重要的應用，其中我們強調降低投資組合報酬率的變異數。但是，我們並沒有說明為什麼風險是以變異數和標準差測量。下列的範例用來彌補這個缺失。 第8章 連續機率分配 第285頁 範例 8.3 考慮一個投資，它的報酬率是具有平均數10% 與標準差5% 的常態分配。 a.決定虧損的機率。 b.找出當標準差等於10% 的虧損機率。 第8章 連續機率分配 第285頁 範例 8.3 a.當報酬率是負的時候，這項投資會虧損。因此，我 們希望決定 P(X 0) 第一步是將機率中描述的 X 與 0 標準化： 第8章 連續機率分配 第285頁 範例 8.3 從表3可以得到 P(Z ? 2.00) = .0228 因此，虧損的機率是.0228 第8章 連續機率分配 第285頁 範例 8.3 b.如果我們將標準差增加到10%，遭遇虧損的機率成 為 第8章 連續機率分配 第285頁 找出 Z 的數值 通常在一給定的機率下，我們必須決定Z 的數值。例如，在曲線下給定一個面積(A)，在水平軸上的面積所對應的z (zA) 值為何? P(Z zA) = A 第8章 連續機率分配 第287頁 圖8.16 找出 Z 的數值 相當於弧線下區域的2.5%之 z 值為何? 換言之，z.025 為何? (1 – A) = (1–.025) = .9750 如果你在表3對.9750做一個“反向查看”， 你將得到對應的 zA = 1.96 由 P(z 1.96) = .025, 我們說: z.025 = 1.96 第8章 連續機率分配 第287頁 指數分配 另一項重要的連續分配是指數分配(exponential distribution)。 它的機率密度函數是： 注意x ≥ 0。 時間 (舉例來說)是非負數的 數量；指數分配通常 用在與時間相關的現象，如電話之間的長短或是在組裝站上由一個零件到達下一個零件的時間。 對於指數隨機變數 第8章 連續機率分配 第297頁 指數分配 指數分配視 λ 值而定 較小的 λ 值使弧線“平坦” : (如 = .5, 1, 2 的 指數分配) 第8章 連續機率分配 第297頁 圖8.22 指數分配 如果 X 是一個指數隨機變數，與指數隨機變數相關的機率為： 第8章 連續機率分配 第298頁 範例 8.7 一個鹼性電池的壽命( 以小時測量) 服從一個具有λ ＝ .05 的指數分配。 找出電池壽命介於10至15小時的機率為多少... P (10X 15) “電池壽命介於 10至 15小時的機率約為 13% ” 第8章 連續機率分配 第299頁 圖8.23 其他連續分配 在這一節我們介紹另外三種連續分配，它們被廣泛 使用於統計推論： 學生 t 分配(Student t distribution), 卡方分配(chi-squared distribution), 以及 F 分配(F distribution) 第8章 連續機率分配 第301.307.311頁 學生t 分配 使用字母 t 代表隨機變數[Gosset以筆名「學生」發表他的發現，並且使用字母 t 代表隨機變數，又被稱為學生的 t 分配(Student’s t distribution) ]。學生 t 分配的密度函數如下： ν (希臘字母nu) 被稱為自由度(degrees of freedom), π 等於3.14159，Γ 是gamma函數，Γ(k)=(k-1)(k-2)…(2)(1) 第8章 連續機率分配 第301-302頁 學生t 分配 這個分配與標準常態分配是類似的。學生 t 分配為山形(mound shaped)以及對稱於0 (兩隨機變數的平均數皆為0) 。 一個學生 t 隨機變數的平均數與變異數是：E(t) = 0 以及 第8章 連續機率分配 第302頁 圖8.24 學生 t 分配 如同μ 與 σ 解釋常態分配, ν (自由度數值) 解釋學生 t 分配： 當 ν 越大，學生 t 分配越接近標準常態分配。 第8章 連續機率分配 第303頁 圖8.26 決定學生 t 的數值 學生 t 分配廣泛應用於統計推論。附錄B的表4 ( 在此被複製為表8.2) 列出tA,ν 的數值。 它們是具有自由度 ν 且滿足下列關係式的學生 t 隨機變數的數值 A 值是預定的“關鍵的” 數值