正定矩阵的性质及应用——学年论文.doc

本科生学年论文（设计） 论文（设计）题目 正定矩阵的性质及应用 作 者 分院、 专业 理学分院数学与应用数学专业 班 级 指导教师（职称） 字 数 5488 成果完成时间 正定矩阵的性质及应用 摘 要：我们在化二次型为标准型的过程中，得到了正定矩阵的定义，而关于正定矩阵的等价定理及其性质我们在本文中进行了详细的举例及证明．同时，本文也就正定矩阵的性质在矩阵、不等式和极值问题的应用进行了深刻的探讨． 关键词：正定矩阵；等价定理；性质；应用 The nature and application of positive definite matrices Abstract：We are of the two type is a standard process, obtained the positive definite matrix is defined, and on the positive definite matrix equivalence theorem and its properties in this paper we carried out a detailed examples and proved. At the same time, this paper also has the properties of positive definite matrix in matrix, inequalities and extremum problems for application of the profound discussion. Key words：Positive definite matrix; equivalence theorem; properties; application 正定矩阵的性质及应用 1引言 代数学是数学学科中的一个重要分支，而正定矩阵又是其中的重中之重。在二次型证明过程中，我们设是一个实二次型，若对应的任意一组不全为零的实数，都有，则称为实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称定称阵，简称正定矩阵． 2矩阵的概述 2.1正定矩阵的等价定理 判定一个矩阵是否为正定矩阵时，除用定理外还可以运用一些等价定理．以下为一些判定矩阵正定的一些充要条件: 定理1 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：矩阵合同于阶单位矩阵． 证 充分性 由于阶实对称矩阵是正定矩阵，则其对应的二次型为正二次型．另外，正二次型可以经非退化线性替换使得 ． 其中，所以矩阵合同于阶单位矩阵． 必要性 由于矩阵合同于阶单位矩阵，则存在阶可逆矩阵，使得，则其对应二次型得到 ． 其中为正定二次型，则也是正定二次型，所以阶实对称矩阵是正定矩阵． 定理2 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：矩阵的正惯性指数等于． 证 充分性 由于阶实对称矩阵是正定矩阵，由定理1得到矩阵合同于阶单位矩阵，所以矩阵的正惯性指数等于． 必要性 由于矩阵的正惯性指数等于，则其对应的二次型为正定二次型，所以矩阵是正定矩阵． 定理3 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：存在满秩矩阵，使得成立． 证 充分性 由于矩阵是正定矩阵，则矩阵与同阶单位矩阵合同，所以存在实可逆矩阵，使得． 必要性 由于矩阵 ,且是实可逆矩阵，则对于 ． 所以矩阵是正定矩阵． 定理4 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：个特征根全为正值． 证 充分性 由于阶实对称矩阵是正定矩阵，则存在正交矩阵，即，满足，其中是矩阵的全部特征值，则矩阵对应的二次型为．令，则 ． 另外，由矩阵是正定矩阵得到二次型也为正二次型，所以矩阵的特征根全为正值． 必要性 由于 阶实对称矩阵的特征根全为正值．则存在正交矩阵，即，满足，则其对应的二次型可表示为 ． 则为正二次型，所以其对应的矩阵是正定矩阵． 定理5 阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是：矩阵所有顺序主子式都大于零． 证 充分性 由于阶实对称矩阵是正定矩阵，则其对应的二次型为正定二次型．构造二次型函数，则其也为正二次型，则对应的矩阵为正定矩阵，即，所以正定矩阵所有顺序主子式大于零．