函数与方程思想在中学数学中的应用毕业论文.doc

本科生毕业论文（设计）册 学院 数学与信息科学学院 专业 数学与应用数学 班级 学生 指导教师 学本科生毕业论文（设计）文献综述 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路 和函数有必然联系的是方程，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组)来求得这些量.这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系　就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的 河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章 18世纪的数学家大多相信一个函数必须处处都有相同的解析表达式。在18世纪的后半叶，很大程度上作为弦振动问题上争论的一个结果，Euler和Lagrange允许函数在不同的区域上具有不同的表达式，而且在那些有统一表达式的点上用连续这个词，而在那些改变了表达式形式的点上用不连续这个词，（虽然在现代意义上讲整个函数可能都是连续的）。当Euler，d’Alembert和Lagrange不得不重新考虑函数的概念时，他们既没有得到任何广泛被采用的定义，也没有解决什么样的函数可以用三角级数来表示的问题，但是多方面的逐渐发展以及函数的应用迫使数学家接受一个更广的概念。 在Gauss的早期著作中函数指的是一个封闭的（有限解析的），，，x）作为，，和x的函数时，他用注解来确定它的意义说：“在这个范围内能认为它是一个函数。”Lagrange在把幂级数看成函数时早就采用了一个更广的概念。在他的《解析力学》（Mecanique analytique，1811-1815）第二版中，他用函数一词来表示几乎是任何类型的对一个或多个变量的依赖关系。甚至在Lacroix1797年的《专著》中早就引入了一个更广的概念。他在引论中说：“每一个量，若其值依赖于一个或几个别的量，就成它为后者（这个或这些量）的函数，不管人们知不知道用何种必要的运算可以从后者得到前者。”作为一个例子，Lacroix把一个五阶方程的一个根作为该方程系数的函数。 Fourir的工作甚至更广泛地展现了函数究竟是什么问题。一方面他主张函数不必表示为任何解析表达式。他在他的《热的解析理论》（The Analytical Theory of Heat）中说：“通常，函数f（x）表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；它们以任何方式一个挨着一个……”实际上，他只讨论了在任一有限空间上具有有限个间断点的函数。另一方面，在某种程度上Fourier支持函数必须用一个解析表达式来表示的论点，即使这个表达式是一个Fourier级数。无论如何，Fourier的工作是动摇了18世纪的这样一个信念，即所有函数无论它们是何种形式都总是代数函数的推广。代数函数，甚至初等超越函数，都不再是函数的原型了。由于代数函数的性质不再搬到一切函数上去，所以人们说的函数、连续、可微性、可积性以及其他性质的真实意义究竟是什么的问题就提出来了。 在许多人从事的分析的积极重建中，实数系被认为是当然没有问题的。没有人企图去分析是熟悉的结构或逻辑地建立实数系。虽然数学家们认为就所讨论的问题而言，他们是立足于可靠的基础之上的。 Cauchy在他1821年的书中是从定义变量开始的。“人们把依次取许多互不相同的值的量叫做变量。”至于函数的概念，“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了变量的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是其中的一个表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表示的其他量就叫做这个自变量的函数。” Cauchy也清楚无穷级数是规定函数的一种方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式。 在一篇关于Fourier级数的论文《用正弦和余弦级数来表示完全任意的函数》（这篇文章我们以后还要谈到）中，Dirichlet给出了（单值）函数的定义，这个定义是现今最常用的，即如果对于给定区间上的每