数值分析第7章1-3节.pptVIP

第7章 非线性方程求根 7.1 方程求根与二分法 7.1.2 二分法 7.2 迭代法及其收敛性 7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 7.2.3 局部收敛性与收敛阶 7.3 迭代收敛的加速方法 7.3.2 斯蒂芬森迭代法 讨论迭代序列的收敛速度. 例4 用不同方法求方程 的根 解 这里 其不动点为 可改写为各种不同的等价形式 由此构造不同的迭代法： 取 ， 对上述4种迭代法，计算三步所得的结果如下表. 从计算结果看到迭代法（1）及（2）均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条件. 注意 . 迭代法（3）和（4）均满足局部收敛条件，且迭代法（4）比（3）收敛快，因在迭代法（4）中 . 定义2 则称该迭代过程是 阶收敛的. 特别地, 时称线性收敛; 设迭代过程 收敛于方程 的根 ， 如果迭代误差 当 时成立下列 渐近关系式 时称超线性收敛; 时称平方收敛. 定理4 对于迭代过程 ，如果 在所 求根 的邻近连续，并且 则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的. （2.8） 证明 由于 ，据定理3立即可以断定迭代 过程 具有局部收敛性. 再将 在根 处做泰勒展开，利用条件（2.8）， 则有 注意到 ， 因此对迭代误差， 当 时有 （2.9） 这表明迭代过程 确实为 阶收敛. 由上式得 上述定理说明，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 的选取. 如果当 时 ，则该迭代过程只可能线性收敛. 在例4中，迭代法（3）的 ，故它只是线性 收敛. 而迭代法（4）的 ， 由定理4知 该迭代过程为2阶收敛. 而 7.3.1 埃特金加速收敛方法 设 是根 的某个近似值， 由微分中值定理，有 其中 介于 与 之间. 假定 改变不大，近似地取某个近似值 ， （3.1） 用迭代公式校正一次得 则有 由于 将它与（3.1）式联立，消去未知的 ， 由此推知 在计算了 及 之后，可用上式右端作为 的新近 似，记作 . 若将校正值 再校正一次，又得 有 （3.1） 一般情形是由 计算 ， (3.2)称为埃特金（Aitken）加速方法. 可以证明 它表明序列 的收敛速度比 的收敛速度快. （3.2） 记 7.1.1 引言 （1.1） 本章主要讨论单变量非线性方程 的求根问题，这里 一类特殊的问题是多项式方程 （1.2） 的求根问题，其中系数 为实数. 方程 的根 ，又称为函数 的零点， 它使 . 若 可分解为 其中 为正整数，且 当 时，称 为单根. 若 称 为 重根，或 为 的 重零点. 若 是 的 重零点，且 充分光滑， 则 根公式但比较复杂，可在数学手册中查到，但已不适合于 数值计算，而 时就不能用公式表示方程的根. 时方程的根是大家熟悉的， 时虽有求 当 为代数多项式（1.2）时，根据代数基本定理, 次方程在复数域有且只有 个根（含复根， 重根为 个根）. 通常对 的多项式方程求根与一般连续函数方程 （1.1）一样都可采用迭代法. （1.2） （1.1） 例1 解 根据有根区间定义，对 的根进行有哪些信誉好的足球投注网站计算， 迭代法要求先给出根 的一个近似. 若 且 可知 在 内至少有一个实根， 这时称 为 根据连续函数性质 求方程