常微分方程变量替换法.pptVIP

前面我们介绍了线性方程、变量可分离方程和全微分方程的求解问题，同时还介绍了一些可通过适当变换化为这三类方程的方法。 §2.4 变量替换法 　　事实上，还有许多方程可以通过变量变换 方法化为已知类型来求解。 就将方程变换为线性方程: 下面介绍几种常见类型的变量替换法。 通过引进新的变量 例如： 对微分方程 引进变量 ，则 原方程可化为 这是一个变量可分离的方程。 二、 形如 方程 例 2.4.3 求方程 对上式分离变量得： 解： 令 则 代入方程整理得 积分得 代入原变量得到通解为： 利用变量替换法求解微分方程十分灵活， 一般依赖于方程的形式和求导的经验。 三、其它变换法 例 2.4.5 求方程 解： 做变换 变量可分离方程 故原方程的通解为 解：该方程求解的困难在于右端的根号， 因为 代入（2.4.3） 我们希望去根号，因此，做变换 这是一个齐次方程, 求解得 例 2.4.6 求方程 故我们做变换 例 2.4.7 求方程 解：根据经验，仔细观察该方程的特征： 代人原方程得： 因此得到原方程的解： 例 2.4.8 求解方程 解：仔细观察该方程的特征： 对方程做恒等变形得， 求解线性方程得： 自然做变换 原方程化为： 解 分离变量法： 通解： 求解微分方程 解 方程变为 分离变量法 通解： 另解 解 原方程变为 齐次方程 四、Riccati方程 形如 的方程称为Riccati方程。 一般情况下，Riccati方程无法用初等积分法 求出其解，只是对一些特殊情况，或事先知道了 他的一个特解，才可以求出他的通解。 Riccati方程一些可求解的特殊类型： 是变量可分离的方程，可以用分离变量法求解。 都是常数时， Riccati方程 1、当 2、当 时， Riccati方程是线性方程。 时， Riccati方程是Bernoulli方程。 3、当 将方程化为变量 可分离的方程。 4、当Riccati方程的形式为: 时，可利用变量替换 因为 是方程的解，因此方程变形为： 这是一个Bernoulli方程。 5、当Riccati方程有一个特解 可利用变量替换 代入原方程得 * *