平面问题的极坐标解答-2.pptVIP

* * §4-4 应力分量的坐标变换式 直角坐标下的应力分量?x、?y、?xy和极坐标下的应力分量?r、??、?r?可以通过坐标变换相互求得，这种表示两个坐标系中应力分量的关系式，称为坐标变换式 已知 ?x、?y、?xy ，如何求?r、?j、?rj？ ab沿y方向，ac沿x方向，bc沿j方向，长度为ds，各边应力分量如图所示 ?x ?xy ?y ?yx ?r ?rj A x y o a c b j j 从物体取小三角板A，包含x面、y面和r面，如图所示，其厚度为1。 ab=ds·cosj ac=ds·sinj 建立平衡方程： (a) 同理，由平衡方程： (b) 为求?j，另取微单元B，包含x面、y面和j面,各面上的应力分量如图所示，板厚为1 ?x B x y o j j ?y ?yx ?xy ?j ?rj 由平衡方程 得： (c) 由平衡方程： 应力分量由直角坐标向极坐标的坐标变换式： (4-7) 应力分量由极坐标向直角坐标的坐标变换式： (4-8) §4-5 轴对称应力和相应的位移 一、轴对称问题的应力分量 应力绕z轴是对称的，则在任一环线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称于z轴，所以，应力分量也是轴对称的。应力分量在极坐标中只是r的函数，不随j而变化；切应力trj为零。 轴对称应力状态下的应力函数为： 轴对称：物体的形状或某一物理量绕一轴是对称的，凡通过对称轴的任何面均为对称面。 将应力函数代入相容方程得： 该方程为高阶微分方程（欧拉方程），其通解为： 相应的应力分量为： (4-9) 即 (4-10) 其中，A、B、C、D是待定常数 相应的轴对称应力分量 由此可以看出，应力分量只是r得函数，不随j而变化，且只有正应力，无剪应力 (4-11) 二、轴对称问题的应变和位移 1、应变分量 由此可见，应变分量也只是r的函数，与j无关，即应变绕z轴对称 2、位移分量 (a) 积分第一式得： (b) 将(b)、(c)代入(a)式中第三式，有 积分第二式并结合(b)式得： (c) 整理后得： 此式左边是r的函数，右边是j的函数，要使左边与右边保持相等，只可能等于同一常数F，即 (d) (e) 由（d）式求得： (f) 由（e）式求得： (g) 将以上各式代入位移分量得表达式，可得轴对称应力状态下得位移分量： (h) 上式中A、B、C、H、F、I、K是待定常数，且H、I、K 为刚体位移 (4-12) 将上述变形公式中的E E/（1-?2）； ? ?/（1- ?），就得平面应变问题中轴对称问题的变形和位移公式 §4-6 圆环或圆筒受均布压力 q1 q2 r R 例1. 图示圆环或圆筒，内半径为r，外半径为R，受均布内压q1和均布外压q2作用 利用边界条件求待定常数A、B、C 由于结构轴对称，荷载轴对称，所以应力分量也是轴对称，直接利用公式 (4-11) 恒满足 边界条件： qa qb (b) 由上述两个边界条件不能完全确定A、B、C，因此要考虑位移单值条件 考察环向位移 是多值项，对于同一r，当j不同，该项有不同的值，而在此轴对称问题中，这是不可能的 根据位移单值条件，可知：B=0 上述边界条件变为： 则圆筒受均布压力的拉梅解答如下： (4-13) 讨论只有内压或只有外压单独作用的情况 1、只有内压力的作用：q2=0 结论：?r总为压应力，?j为拉应力，应力分布如图所示。 ?r ?j q1 当圆环或圆筒的外半径R→?时，它就成为具有圆孔的无限大薄板，或具有孔道的无限大弹性体，应力分量为 应力与r2/r2成正比，当r??r时(即距圆孔或圆孔道较远之处)，应力分量很小，可不计。这也证实了圣维南原理 2、只有外压力的作用：q1=0 ?r 和?j 都是压应力,应力分布如图所示： ?r ?j q2 §4-7 压力隧洞 埋在无限大弹性体中的圆筒受有均布压力q，如压力隧洞。材料性质不同，不符合均匀性假定，不可用同一个解答。 r sj sr r R q O E, m E’, m’ 接触问题（边界接触）必须考虑界面上的接触条件。 无限大弹性体可视为内半径为R，而外半径为无限大的圆筒。与圆筒都是轴对称问题，可引用轴对称应力（4-11）和位移解答（4-12） 圆筒解答中的系数为A、B和C，无限大的弹性体为A‘、B’和C‘。由位移单值条件可知B=B’=0。 圆筒的应力表达式为： (c) 无限大弹性体的应力表达式为： (d) 利用边界条件求解常数A、B、A’和B’ 1）圆筒内侧，边界条件为 (sr)r=r=-q，则有： (e) 2) 远离圆筒处，依圣维南原理，应力≈0，则有 则有： (f) 3) 在圆筒和无限大弹性体的接触面上，有： 于是有： (g)