实验四 多元函数的极值.pptVIP

实验4 多元函数的极值 实验目的 实验内容 实验准备 动画效果 * * 了解多元函数偏导数的求法 了解多元函数极值的求法 了解多元函数条件极值的求法 了解多元函数插值的方法 学习、掌握MATLAB软件有关的命令 1、求函数 的极值点和极值。 2、求函数 在条件下 的极值。 3、已知曲面上一些点(2,2,80)，(3,2,82)，(4,2,84）(0,3,79)，(2,3,61)，(3,3,65)，(0,4,84)，(1,4,84)，(4,4,86)，将这些点用二元函数插值的方法画出完整的曲面。 4、求图像的极值点，并通过这些极值点对图像进行插值。 1、计算多元函数的极值 对于多元函数的极值问题，根据多元函数极值的必要条件和充分条件，可分为以下几个步骤： （2）求解正规方程 得到驻点； （1）定义多元函数 ； 2. 计算二元函数在区域D内的最大值和最小值 设函数z=f(x,y)在有界区域D上连续，则f(x,y)在D上必定有最大值和最小值。求f(x,y)在D上的最大 值和最小值的一般步骤为： 计算f(x,y)在D内所有驻点处的函数值； b) 计算f(x,y)在D的各个边界线上的最大值和最小值； c) 将上述各函数值进行比较，最终确定出在D内的最大值和最小值。 求函数偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数。 diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。 实验方法与步骤 练习1、求函数 的极值点和极值。 练习1、求函数 的极值点和极值。 clear; syms x y zx zy; z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; zx=diff(z,x); zy=diff(z,y); 首先用diff命令求z关于x, y的偏导数 Ex4_1 结果为zx =4*x^3-8*y，zy =-8*x+4*y 其次，求解正规方程，得到驻点的坐标 一般方程组的符号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。 求解正规方程的matlab代码为: clear; [x1,y1]=solve(4*x^3-8*y=0,-8*x+4*y=0,x,y); Ex4_2 得到三个驻点，分别为 (-2,-4)， (0,0)， (2,4) 下面再求判别式中的二阶偏导数: clear; syms x y; z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; A=diff(z,x,2) B=diff(diff(z,x),y) C=diff(z,y,2) 运行结果为：A=12*x^2 B =-8 C =4 Ex4_3 最后，对于点（-2，-4），（0，0）和（2，4）分别判别是否是极值点 Ex4_4 clear; N=input(please input points number,N=); for i=1:N x=input(x=); y=input(y=); A=12*x^2; B=-8; C=4; p=A*C-B*B; if p==0 disp(无法判别) elseif and(p0,A0) disp(极小值点,极小值是) fmin=x^4-8*x*y+2*y^2-3 elseif and(p0,A0) disp(极大值点,极大值是) fmax=x^4-8*x*y+2*y^2-3 elseif (p0) disp(不是极值点) end end 由判别法可知 (-2,-4)和 (2,4)都是函数的极小值点，而点 (0,0)不是极值点。 练习2、求函数 在条件 下的极大值。 构造Lagrange函数 求Lagrange函数的极值。先求 关于 的一阶偏导数，相应的matlab代码为 Ex4_5 clear; syms x y k; L=x*y+k*(x+y-1); Lx=diff(L,x) Ly=diff(L,y) Lk=diff(L,k) 运行得到 Lx =y+k Ly =x+k Lk =x+y-1 解正规方程， clear; [x1,y1,k1]=solve(‘y+k=0