定积分的几何应用与物理应用.pptVIP

的几何应用 二、定积分的物理应用 例5 例8 * * 定积分 物理应用 与 1、平面图形的面积 一、 定积分的几何应用 2、旋转体的体积 3、平行截面面积已知的 立体的体积 4、平面曲线的弧长 解： 两曲线的交点 选 为积分变量 则： ∴ 解： 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． 例3 解 计算则由椭圆 围成的平面图形 绕 轴旋转而成的旋转椭球体的体积. 取 为自变量, 其变化区间为 任取其上 一区间微元 相应于该区间微元的小薄 片的体积 , 近似等于底半径为 高为 的扁圆柱体的体积 , 即体积微元 故所求旋转椭球体的体积为 1、变力沿直线所作的功 2、水压力 3、引力 即功元素为 dr r q k dW 2 = . 于是所求的功为 一、变力沿直线所作的功 例4 电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处, 它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r?a处移动到r?b(ab)处, 求电场力对单位正电荷所作的功. 解: 在 r 轴上, 当单位正电荷从 r 移动到 r+dr 时, 电场力对它所作的功近似为 dr r q k 2 , 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第 木板对铁钉的阻力为 建立坐标系如图，则 第一次锤击时所作的功为 x o x 一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？ 解 第一次锤击时所作的功为 设n次击入的总深度为h 厘米 n次锤击所作的总功为 依题意知，每次锤击所作的功相等． n次击入的总深度为 第n次击入的深度为 x o h 压力=压强×受力面积 = ? g h×受力面积 例6. ? 的液体 , 求桶的一个端面（侧面）所受的侧压力。 解:建立坐标系如图. 所论半圆的 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 利用对称性 , 侧压力元素 端面所受侧压力为 二、液体对薄板的水压力 例7 求长度为l、线密度为?的均匀细直棒对其中垂线上距棒a单位的质量为m的质点M的引力. 解: 取坐标系如图. 引力在垂直方向上的分量为零. 在y点处取长为dy的一小段, 得水平方向上的引力元素 于是引力在水平方向的分量为 由对称性知, 三、引力 自地面垂直地向上发射火箭. 设火箭的质量为m, 求： (1) 火箭离开地面距离为h 时，克服地球引力 所作的功W ; (2) 若要火箭飞离地球，火箭的初始速度v0 至少为多少？ 解 (1) 1° 建立坐标系(如图) r O 设地球的质量为M, 半径为R. 地平面 h R r O 地平面 ? r ? 用于克服地球引力的外力： 2o 由万有引力定律， 地球对位于点r 处的火箭的引力： ? h ? r+dr 功元素： R ? 地心 (2) 当火箭飞离地球时，即 第二宇宙速度