第三节常数项级数收敛性判别法 .pptVIP

( L. P371 第一节) (L.P373 表6-1 ) ( L. P374, 5 ) 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 信息管理学院数学与经济分析系 第三节常数项级数收敛性判别法 一、正项级数及其敛散性判别 二 、交错级数及其敛散性判别 三、任意项级数的绝对收敛 与条件收敛 二 、交错级数及其敛散性判别 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 收敛 收敛 例1.用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 例2. 判别下列级数的敛散性: 由Leibnitz 判别法知，原级数收敛 所以原级数发散（级数收敛的必要条件） 注意 Leibnitz 判别法的条件只是充分条件，而不是必要条件。不能由交错级数不满足Leibnitz 判别法的条件而推断出级数发散。 * 1、任意项级数 为任意实数. 三、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 正项级数,交错级数是任意项级数的特殊情况 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 也收敛 且 收敛 , 令 反过来 成立吗？ 充分条件 非必要条件 * 发散 例如 收敛. 而 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 1).若 收敛, 则称 为绝对收敛. 2).若 收敛, 但 发散, 则称 为条件收敛. 2、绝对收敛、条件收敛. 注意 正项级数收敛时一定是绝对收敛 1).逆命题不成立. 即收敛的级数未必绝对收敛. 2).若由比值判别法或根值判别法判定 发散, 则可以断定 发散. 注意 定理8 设任意项级数 当 时,级数绝对收敛; 当 发散; 当 时,敛散性不定. 例3. 判定级数的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? 解 故原级数绝对收敛. 收敛, 故原级数绝对收敛. 原级数(绝对)收敛. 原级数发散. 例4. 判定级数的敛散性, 解 可见 ， 收敛 发散. 总之 ，级数当|x|1时，绝对收敛， 当 x =1时，条件收敛， |x|1或 x= --1时，发散. * 例5. 判定级数的敛散性 解： 例6. 判定级数的敛散性, 解 原级数发散. 四、本次课小结 (P258) 1.介绍了交错级数敛散性判别的方法 2.任意项级数的绝对收敛和条件收敛 * 五、本节小结 五、内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值判别法 根值判别法 收 敛 发 散 不定 比较判别法 用它法判别 部分和极限 3. 任意项级数判别法（定理8 P 257） 为收敛级数 4、Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 P259 练习10.3 T3（1、2、3、4） P286~294 习题十 相关练习自选完成 六、作业 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 微积分（二） calculus 信息管理学院数学与经济分析系 信息管理学院数学与经济分析系 ( L. P371 第一节) (L.P373 表6-1 ) ( L. P374, 5 )