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Tankertanker Design 问题5 能带论的物理图像，即为什么在K=nπ/a（n为任意整数）是扰动最大？带顶和带底为什么形成驻波？ 时间： 2014年11月6日 1、能带论的物理图像为什么在K=nπ/a（n为任意整数）是扰动最大？ 能带图 * 一维周期场中近自由电子近似模型（黄昆著，固体物理P157-P168） 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。 （也称为弱周期场近似）。势场V(x)可用平均势 代替，周期起伏 看作微扰处理。 * 其中 是归一化因子，L=Na晶体长度、N原胞数、a晶格常数（原子间距）。在周期性边界条件下，k的取值为：中 1、零级近似的波动方程： 其解是恒定场 自由电子的解（零级近似中，电子被看成是 自由粒子，能量本征值 作为k的函数具有抛物线形式）： * 零级近似(自由粒子)中，电子能量本征值作为k的函数具有抛物线形式 波函数满足正交归一条件： E(k) k 0 由于零级近似下的解相当于是自由电子的解，所以称为近自由电子近似。 * 2、微扰论的一级修正（和二级修正）： a) 能量一级修正： b) 能量二级修正： c) 波函数一级修正： 其中微扰项： I. 能量一级修正:为零 * II、能量的二级修正： a. b. 二级微扰能： * i：原来较低的 态微扰使它下降为： 微扰下的电子能量就可写成： ii：原来较高的 态微扰使它更高为： 差别为 * 带3： 带2： 带1： 在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子 运动状态的影响看成微扰。在周期性微扰作用下，电子准连续的能级在布里渊区边界处（对于一维单原子链是在nπ/a 处）分裂成一个个能带，能带间隔为 ，从而周期势场在K=nπ/a处，扰动最大。 2、带顶和带底为什么形成驻波？ 一、带顶和带底（布里渊区边界） 二、驻波 驻波是指两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时互相叠加而成的波。 驻波图示 电子波函数为 三、驻波的形成原因 其中 容易证明uk(x)＝ uk(x+a)，是以a为周期的周期函数。这种波函数由两部分组成： 第一部分是波数为k的行进平面波（入射波）因子 第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波（反射波） 因子 是波数为k’＝k+2?n/a的散射波的振幅。 当电子的波矢远离带顶和带底（k≠nπ/a）时，散射波的幅度都很小，对入射波的干扰很小，电子波不受Bragg反射，从各原子散射的波没有确定的位相关系，从而入射波和散射波不会形成驻波。 但当入射的自由电子的波矢接近带顶和带底（k=nπ/a）时，有K=nπ/a，而行进平面波的波长?＝2?/?k?，从而nπ/a=2π/?,得2a＝n ?，这实际上是Bragg反射条件2asin?＝n? 在正入射情况（ sin?＝1 ）的结果。此时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉，沿一个方向行进的波受到反射，沿相反方向传播，反射波与入射波干涉，形成驻波。 Tankertanker Design