北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》_导数与函数的极值_课件.pptVIP

x=-1, x=0,x=1; 金太阳新课标资源网 北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》 一、复习: 利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数 ; ③解不等式 0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 0得f(x)的单调递减区间. 在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的. 下面我们利用函数的导数来研究函数的极 值问题. 二、新课探析 　1．函数的极值: 一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值. o a X1 X2 X3 X4 b a x y 思考 (2).极大值一定比极小值大吗？ 极值是函数的局部性概念 结论：不一定 极大值 极小值 极小值 请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. o a X1 X2 X3 X4 b a x y (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 即一个函数的极大值未必大于极小值,如f(x4)f(x1). o a X1 X2 X3 X4 b a x y (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 1．理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的． (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点． (3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值． 总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1)) (5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点． 2．导数为0的点不一定是极值点． o a X00 b x y o a X0 b x y ２．求可导函数f(x)的极值 一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是: (1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极大值; (2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极小值. 思考 (1)导数为0的点一定是 函数的极值点吗？ 例如：f(x)=x3 f ’(x)=3x2≥0 f ’(0)=3×02=0 f(x) + 0 + f ’(x) X0 X=0 x0 x o x y Y=x3 + + 若f(x0) 是极值，则f ’(x0)=0。 反之， f ’(x0)=0，f(x0)不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的 必要条件。 例1:求y=x3/3 －4x+4的极值. 解: 令 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, ,y的变化情况如下表: ↗ 极小值-4/3 ↘ 极大值28/3 ↗ y + 0 - 0 + y’ (2,+∞) 2 (-2,2) -2 (-∞,-2) x 因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3. 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f’(x)=0的根 （3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值； 若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值 + - x0 -