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问题提出 问题分析 模型一 模型建立： 举个实例 模型的缺点 模型二 模型改进 对模型作进一步分析 疾病的传染高峰期 模型的缺点 模型三 模型的建立 模型的解： 阈值σ=k/μ的意义 模型的意义 模型四 模型的建立 相轨线 相轨线分析结果 阈值1/σ的意义 模型验证——印度孟买的一个例子 1、问题来源 2、Lanchester的工作 3、一般战争 4、战争类型讨论 （1）正规战争模型 模型简化 模型求解 解分析 乙方取胜的条件——平方率模型 （2）游击战争模型 模型 方程的解 乙方获胜的条件 （3）混合战争 相轨线 乙方获胜的条件 结果分析 模型应用——越战 5、模型的另一个应用 （1）基本模型建立 （2）增援率u ( t ) （3）每天的实际兵力A ( t ) （4）计算（21）式的a （5）计算兵力A ( t )与实际兵力的比较 思考题1 思考题2 认为：兵力先减至零的一方为负方。 条件： 甲方为游击队，乙方为正规部队 则乙获胜的条件： 思考： 如何分析美国-伊拉克现代战争的结局？ * 微 分 方 程 模 型 动态微分方程模型 一、传染病模型： 四个模型 二、战争模型 本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着 人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制．然而，即使在今天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象， 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）感染上疾病的人数与哪些因素有关 （2）如何预报传染病高潮的到来． 不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。 模型假设： （1）一人得病后，久治不愈，人在传染 期内不会死亡。 （2）单位时间内每个病人传染人数为常 数k。 为什么假设不会死亡？ （因为死亡后便不会再传播疾病，因 而可认为此时已退出系统） I（t）——表示t时刻病人的数量，时间：天 则：I（t+Δt）—I（ t）＝k0I（t） Δ t 于是模型如下： 模型的解： 最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人 问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律 设t时刻健康人数为S(t)． 模型假设： （1）总人数为n，I(t)十S(t)＝n （2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不 会死亡。 （3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为k（称之为 传染系数） 方程的解： 传染病人数与时间t关系 传染病人数的变化率与时间t的关系 染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定 增长速度由低增至最高后 降落下来 此时 计算高峰期得： 意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。 缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最 终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合 原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可 以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再 次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与