习题课9(微分方程与差分方程简介).ppt

　　【例5】（P411第6题） 　　某林区现有木材10万立方米， 第九章 微分方程与差分方程简介 瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比， 如果在每一 设10年内该林区有木材20万立方米， 假 试确定木 材数　与时间　的关系。 　　解　由题意知 解得 将条件代人得 　　【例6】（P412第11题） 　　求下列各微分方程的通解或在给定初始 第九章 微分方程与差分方程简介 条件下的特解 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 对应的齐次方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 特征根 由于　　不是特征根， 特征方程 齐次方程的通解 非齐次方程的特解形式 第九章 微分方程与差分方程简介 代人原方程得 原方程的通解为 非齐次方程的特解为 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 对应的齐次方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 特征根 由于　　是特征单根， 特征方程 齐次方程的通解 非齐次方程的特解形式 微积分讲义 设计制作 王新心 习题课 微分方程与差分方程简介 　　二　一阶微分方程 　　三　二阶微分方程 　　一　微分方程的一般概念 　　四　例题 　　一、微分方程的一般概念 　　 　　形如 第九章 微分方程与差分方程简介 的方程称为　阶（常）微分方程， 未知函数称为微分方程的解。 满足方程的 微分方程的解 通解 特解 　　二、一阶微分方程 　　1.可分离变量的微分方程 第九章 微分方程与差分方程简介 形如 或 一般形式 第九章 微分方程与差分方程简介 将方程变形为 或 　　求解方法 两边同时积分即得通解。 　　2.齐次微分方程 第九章 微分方程与差分方程简介 形如 　　求解方法 作变量代换 可分离变量的方程 　　3.一阶线性微分方程 第九章 微分方程与差分方程简介 形如 　　求解方法 一阶线性齐次微分方程 一阶线性非齐次微分方程 一阶线性齐次微分方程 直接分离变量即可 第九章 微分方程与差分方程简介 　　一阶线性非齐次微分方程 常数变易法 也可直接用公式 　　4.伯努利 ( Bernoulli )方程 形如 求解方法 令 一阶线性微分方程 　　三、二阶微分方程 　　1.可降阶的微分方程 第九章 微分方程与差分方程简介 　1）形如 一般形式 求解方法 作　次两边积分即可 第九章 微分方程与差分方程简介 　2）形如 求解方法 一阶微分方程 ——不显含 　3）形如 求解方法 一阶微分方程 ——不显含 令 令 　　 2.二阶常系数微分方程 第九章 微分方程与差分方程简介 形如 　　求解方法 二阶常系数线性齐次方程 二阶常系数线性非齐次方程 二阶常系数线性齐次方程 第九章 微分方程与差分方程简介 （　　为任意常数） 特征方程　　　　　　， 特征根 特征根 通 解 实根 第九章 微分方程与差分方程简介 特解形式 二阶常系数线性非齐次方程 特解形式 其中　是特征方程的　重根。 其中　　　是特征方程的　重根 　　 3.二阶线性微分方程解的性质 第九章 微分方程与差分方程简介 关于线性齐次方程 　　性质1 若　　　　　是齐次方程的两个线 则　　　　　　　是齐次方程 性无关的特解， 的通解， 其中　　　为任意常数。 （解的叠加原理） 第九章 微分方程与差分方程简介 关于线性非齐次方程 　　性质2 则 　　是对应的齐次方程的通解， 是非齐次方程的通解。 若　　是非齐次方程的一个特解， 第九章 微分方程与差分方程简介 　　性质3 若在非齐次方程中 的特解， 分别是方程 则　　　　　　是非齐次方程 的特解。 　　【例1】（P410第2题） 　　求下列各微分方程的通解或在给定初始 第九章 微分方程与差分方程简介 条件下的特解 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 先求通解 代人初始条件得 故特解为 　　【例2】（P410第3题） 　　求下列各微分方程的通解或在给定初始 第九章 微分方程与差分方程简介 条件下的特解 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 令 齐次方程 代人并整理得 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 令 齐次方程 代人并整理得 将初始条件代人得 特解为 　　【例3】（P411第4题） 　　求下列各微分方程的通解或在给定初始 第九章 微分方程与差分方程简介 条件下的特解 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 一阶线性微分方程 利用公式 通解 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 一阶线性微分方程 利用公式 通解 代人条件得特解 　　【例4】（P411第5题） 　　求下列各微分方程的通解或在给定初始 第九章 微分方程与差分方程简介 条件下的特解 　　解 第九章 微分方程与差分方程简介 方程变