反常积分-课件（PPT-精）.pptVIP

* * 定积分的分部积分公式 设u(x), v(x)在区间[a, b]上有连续的导数, 则 由不定积分的分部积分法 及N--L公式. 对于定积分, 有类似的分部积分公式. 二、 定积分分部积分法(P251) 例 证明 证 n为正偶数 n为正奇数 瓦里斯(J.Wallis)公式 记 因为 同理 n为正偶数 n为正奇数 作业：P254-7(9)(11)(12)(13) 下面准备讲含参积分求导的问题(参见《辅》216页例13). 例 问 对吗? 错! 解 中 外还有x 有一个隐含的规则：“口”外无变量( x ) * 先作换元变换, 则 解 已知 f (x)连续, 作业补1: 已知 f (x)连续, 例 例 解 无法直接求出f (x)] [因为 没 有初等原函数, 分析 这是含有“积分上限的函数”的积分, 导数容易求. 分部积分. 考虑“积分上限的函数” 的特性: 再想想积分计算时,何时出现导数? 答案是: 作业补2 例 解 三、小结(应背公式,设被积连续) 分部 换元 f 周期T 瓦里斯 奇偶 * 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 小结 思考题 作业 5.4 反常积分(P254) improper integral * 常义积分 积分区间有限 被积函数有界 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 反常积分 推广 * 定义1 当极限存在时, 称反常积分 否则称其 反常积分, (1) 收敛; 发散. 一、无穷限的反常积分(P254) (2) 名称; 收敛; 发散. 类同(1) (3) 名称; 收敛(当两个都收敛时); 发散. 类同(1) * 注 为了方便起见, 规定: 对反常积分可用如下的简记法使用N--L公式, 若F(x)是连续函数 f (x)的原函数. 这时反常积分的收敛与发散取决于 例 解 * 解 因此 收敛, 其值为 发散. 例 求 * 定义2 且称 二、无界函数的反常积分 (P257) (瑕积分) f (x)在(a, b]上的反常积分(或瑕积分). (1) 如 f (x)在 a 点任一右(或左)邻域内都无界, (2) 设 f (x)在(a, b]上连续, 为函数 当极限存在时, 称反常积分 否则称其 收敛; 发散. (3) 设f (x)在[a, b)上连续, 名称; 收敛; 发散. 类同(2) 定义4.5 且称 f (x)在(a, b]上的反常积分(或瑕积分). (1) 如 f (x)在 a 点任一右(或左)邻域内都无界, (2) 设 f (x)在(a, b]上连续, 为函数 当极限存在时, 称反常积分 否则称其 收敛; 发散. (3) 设f (x)在[a, b)上连续, 名称; 收敛; 发散. 类同(2) (c, b]上连续, (4) 设f (x)在[a, c), 名称; 收敛(当两个都收敛时); 发散. 类同(2) * 注 为了方便起见, ? 由N--L公式, 则反常积分 规定: ? 如a为瑕点, 如b为瑕点, 例 解 * * * * *