第四节广义积分初步-课件（PPT-精）.pptVIP

* 第四节 广义积分初步 定积分存在的两个必要条件: (1)积分区间有限 积分区间无限被积函数有界 积分区间有限但被积函数无界 广义积分 (无穷积分) (瑕积分) (2)被积函数有界 一.无穷积分 一.无穷积分 1.定义 设 在 上连续,取 存在, 如果极限 则称此极限值为函数 在 上的无穷积分. 记作: 此时也称无穷积分收敛,否则称无穷 积分发散. 即 注 (1)无穷积分的几何意义: 当 时 表示由曲线 与直线 和 轴所围成的向右无限延伸的 平面图形的面积. (2) 的敛散 性与 无关. 2.定义 设 在 上连续,取 存在, 如果极限 则称此极限值为函数 在 上的无穷积分. 记作: 此时也称无穷积分收敛,否则称无穷 积分发散. 即 3.定义 设 在 上连续, 同时收敛, 如果 则称它们的和为函数 在 上的无穷积分. 记作: 此时也称无穷积分收敛,否则称无穷 积分发散. 和 (某个实数) 为某个实数, 即 例1.讨论广义积分 的敛散性. 解 即广义积分收敛,值为 例2.讨论广义积分 的敛散性. 解 故广义积分 时收敛, 时发散. 例3.讨论广义积分 的敛散性. 解 而 即 发散， 故 发散. 例 已知 求常数 的值 (1993年考研真题8分) 解 由 得 二.瑕积分 二.瑕积分 1.定义 设 在 上连续,且 存在, 如果极限 则称此极限值为函数 在 上的瑕积分. 记作: 此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分 发散. 即 2.定义 设 在 上连续,且 存在, 如果极限 则称此极限值为函数 在 上的瑕积分. 记作: 此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分 发散. 即 3.定义 设 在 上连续,并且 如果 同时收敛,则称它们的和为函数 在 上的瑕积分. 记作: 此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分 发散. 和 即 例4.讨论广义积分 的敛散性. 解 因 故 是瑕点 即广义积分收敛,值为 例5.讨论广义积分 的敛散性. 解 因 故 是瑕点 故广义积分 时收敛, 时发散. 例6.讨论广义积分 的敛散性. 解 因 而 发散, 故 发散 例7.判定 的敛散性. 解 因 故 是瑕点 即瑕积分发散. *