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第一章第5节╱线性代数教案
§1.5 行列式展开定理 在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做的余子式，记作；记叫做元素的代数余子式。 例如四阶行列式中元素的余子式与代数余子式分别为： 二、行列式的按行（列）展开法则 定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即： 或 证明：1） D经过次行对换得 再经过次列对换得： 所以。 3） 根据引理即得：。 类似地，若按列证明可得： 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即： 或 证明：在上式中把换成可得： 当时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，故行列式等于零，即： 上述证法按列证明即可得： 或 三、综合举例 例1.计算行列式 解： D= 例2. 设： D的元的余子式和代数余子式依次记作和，求。 解：因为等于用1，1，1，1代替D的第一行所得的行列式，即=4 例3：计算行列式D= 按最后一列展开得： D 例4：计算行列式 解：从第4行开始后行减前行 例5：证明范德蒙行列式 证明：用数学归纳法：因为所以时命题成立。 假设命题对于阶行列式成立，要证明命题对n阶范德蒙行列式也成立。 设法把降阶，从第n行开始，后一行减前一行的倍得： 按第1行展开，并把每一列的公因子提出，有，按归纳假设，上式右端等于所有因子的乘积，其中，故 例6：计算2n阶行列式其中未写出的元素为0. 解：按第1行展开 例7：计算 解：（升阶法） 1
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