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第5章 位移法 概述 结合杆单元进行描述 5.7 位移法结构分析 * 应用于连续介质问题，出现有限单元法（Finite Element Method）这一名称（Clough， “平面应力分析的有限单元法”, 1960年） 位移法就是以位移作为基本未知量分析结构内力和变形的方法，其理论基础是“最小位能原理”。 位移法求解的思路是，根据变形条件、物理条件和平衡关系，建立以位移为基本变量的力的平衡方程，解方程得出未知位移，进而求出全部的位移和内力。 本章讨论的位移法，是以矩阵运算作为数学工具来处理结构位移计算的方法，故可成为矩阵位移法。 早期较多地用于桁架、刚架等杆、梁式结构，又称为直接刚度法。 矩阵位移法分析包含两个部分： （1）单元分析 将结构分解成为有限个较小的单元，称为离散化。分析单元内力和位移之间的关系，建立单元刚度矩阵和刚度方程（平衡方程）； （2）整体分析 将各单元集合成整体结构，单元刚度方程集合成结构的刚度方程（总刚度方程），相应地单元刚度矩阵集合成结构的刚度矩阵（总刚度矩阵），在满足原结构变形协调和边界条件的前提下求解原结构的位移和内力。 （1）单元分析 结点位移 应变 应力 轴力 结点力 结点平衡： 单元刚度矩阵： 单元刚度方程： x y i L j EA 坐标变换 x y i L j EA 杆单元在总体坐标系中： 其中： 元素在总体坐标下的刚度矩阵 杆单元在局部坐标系中： （2）整体分析 根据全结构所有结点的平衡，集合获得总刚度方程： 设全结构有N个结点。 结点位移向量列阵： 结点外载向量列阵： —总刚度矩阵，根据单元刚阵集合而成 处理边界条件和求解刚度方程： 绿色：已知 红色：未知 矩阵分块运算 待求位移 支反力 位移法结构分析的步骤： （1）选定结构总体坐标系，进行结点及元素编号； （2）按照编号顺序列出结点位移向量列阵及结点力向量列阵； （3）建立元素在总体坐标下的刚度矩阵； （4）用集合方法建立总体刚度矩阵； （5）利用给定位移边界条件，求得结点位移； （6）求出结构的支反力、结点力、内力等。 l 1 2 3 l x y 例5-1 用位移法求图示桁架结构的结点位移、结构支反力和各杆内力，各杆的EA相同， ， 。 解： （1）选定结构总体坐标系，进行结点及元素编号； 1 2 3 x y 1 2 3 1 2 3 3 1 2 （2）按照编号顺序列出结点位移向量列阵P及结点力向量列阵Δ 边界条件： 载荷条件： x y i L 杆单元 j EA 在局部坐标系中： 在总体坐标系中： 其中： （3）建立单元在总体坐标下的刚度矩阵 1 2 1 2 l 1 2 3 l x y x 杆元1－2： 单元刚度矩阵： 单元刚度方程： 杆元2－3： l 1 2 3 l x y 2 3 2 3 ，x 元素刚度矩阵： 元素刚度方程： 杆元1－3： x 1 3 1 3 l 1 2 3 l x y 元素刚度方程： 元素刚度矩阵： 总刚度方程 （4）用集合方法建立总体刚度矩阵 杆元1－2： *