考研数学三必背知识点：线性代数.docVIP

线性代数必考知识点 一、行列式 1、逆序数 一个排列若有类似时，我们称组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为 2、行列式性质 (1) 行列式行列互换，其值不变，即 (2) 行列式两行或两列互换，其值反号。 (3) 行列式某行或某列乘以k等于行列式乘以k。 (4) 行列式某行货某列乘以k加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。 (8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即 (9) 齐次线性方程组有非零解 3、行列式行列展开定理 (1) 余子式 (2) 代数余子式 4、三阶行列式展开公式 二、矩阵 1、矩阵运算 (1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。 (2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。 (4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) 阶方阵一般可以有四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式 (1) (2) 3、矩阵转置 (1) (2) 4、伴随矩阵 (1) (2) 、逆矩阵 (1) (2) 分块矩阵的逆矩阵 ① （主对角分块）② （副对角分块） ③ （拉普拉斯）④ （拉普拉斯） 、矩阵初等变换 (1) 交换矩阵两行或两列 (2) 矩阵某行或某列乘以k (3) 矩阵某行或某列乘以k并加到另一行或列 (4) 矩阵初等变换的实质是矩阵与初等矩阵相乘 ① 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 ② 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵 、矩阵其他考点 (1) 行列矩阵相乘：为行矩阵，为列矩阵， 则 (2) 矩阵的求法：若A可对角化，则有，于是 ，则有且1、向量运算： 2、线性表示 对于向量组和向量，若存在一组数使得 (1) 若有唯一解，则能由向量组唯一线性表示。 (2) 若有无穷解，则能由向量组不唯一线性表示。 (3) 若无解，则不能由向量组线性表示。 3、线性相关性 (1) 方程中有时线性相关，不全为零则线性无关。 (2) 一组向量线性无关，则在每个向量相同位置添加分量后仍然线性无关。 (3) 一组向量线性相关，则减少其中某些分量后仍然线性无关。 (4) 设有个维列向量组，时线性无关，时线性相关。 (5) 设有个维列向量组，时时线性无关，时线性相关。 4、向量内积：向量的对应元素之积 5、施密特正交化（三阶向量组） 1、克莱姆法则 方程组中，系数行列式时，方程有唯一解，且 (1) 当时，对应方程组称为元齐次线性方程组。 (2) 克莱姆法则只适用于方程个数和未知量个数相等的线性方程组，若时法则失效。 2、齐次线性方程组 (1) 一定有解，当（即）时有非零解，当（即）时仅有零解。 (2) 的基础解系不是唯一的，且基础解系中所含向量个数 (3) 若为的解，则为的解和同解 和有公共解，则两方程组联立的新方程组有非零解，即3、非齐次线性方程组 (1) (2) 若为的解，则为的解 若为的解，且为对应的解，则为的解 若为的解，且为对应的通解，则为的通解 ，则有个线性无关解，且有个线性无关解。和同解1、基本定义 5、正交矩阵 3、正定二次型（为阶实对称方阵） 为矩阵实对称矩阵为正定矩阵为正定矩阵，但不能确定 为矩阵且 4