复变函数与积分变换讲稿 第六章 保角映射.docVIP

第六章 保角映射 §1保角映射的概念 保角映射的基本问题 在实用上，往往是给出两个区域和，要求找出一个解析函数，它将区域保形地变换到区域。这就是保交映射的基本问题，比较一般的是归结为要找出一个解析函数，将区域保形地变换到单位圆内部区域的问题。另外，要求这种保形变换必须是一一对应的，因此，要求被变换的区域必须是单连域。 黎曼定理： 一个边界至少包含两点的单连域，存在一个解析函数，将区域保形地变 换为单位圆。如果在内再任意指定一点，并令及是正实数，则保形变换函数是唯一存在的。这个定理从理论上指出保形变换函数的存在与唯一性。 如果给出两个单连域和，它们的边界分别是多于两点的曲线和，若能找到在 内是解析的，在闭区域上是连续的，且能作出将到双方正向的，一一对应的变换函数,则将保形变换到。 3．.边界对应原理：设单连域和的边界分别为和。若存在一个在内解析，在上连续的函数，它将平面上的边界一一对应地映射成平面上的边界。当原像点和像点在边界上的绕向一致时，则内的区域将映射成由边界所围成的区域；反 之，则内的区域将映射成的外部区域。 1）当，有，绕向一致时，则有，则区域将映射成区域； 2）当，有，绕向相反时，则区域将映射成的外部区域。 二、解析函数导数的几何意义 设函数在区域内解析，是内的一点，它与平面上的一点对应，当在经过的某条曲线上移动时，则相应地在经过点的一条曲线移动。我们称为的像，为的原像。在上任取一点，则在上相应地有一点， 令，根据导数的定义有 当点沿曲线时，则对应点沿曲线，若记过点处的切线的倾角为，而对应过点的切线的倾角为，则有 ，这就说明了幅角等于将曲线在处的切线转动到曲线在切线时所需要的转动角度。且这个角度只与有关，而与曲线的形状无关。我们称这个性质为转动角不变性。 若考虑在平面过处的两条曲线和，通过解析函数的映射，变成为平面过点处的两条曲线和。若记和在处切线的倾角为和，其夹角为，而将和在处的切线的倾角记为和，其夹角为，有 ，因此有 ，这就说明了映射据有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质。称这种性质为保角性。 又，所以 ，称为曲线经过变为曲线的伸缩率。显然伸缩率只与有关，而与经过的曲线的性状无关，称这种性质为伸缩率不变性。 根据以上的讨论，导数几何意义是，在函数的映射下，导数 ， 导数的幅角 表示变换前后对应曲线的转动角； 导数的模表示变换前后对应曲线的伸缩率。 三、保角映射的概念 1. 定义：凡具有保角性和伸缩率不变性的映射称为保角映射，或称为第一类保角映射。 定理 如果函数在处解析，且，那么映射在处是保角的，而且表示这个映射在的转动角，表示伸缩率。 若映射仅保持角度的绝对值不变，而方向相反的映射，称为第二类保角映射。例。 §2 分式线性映射 分式线性映射的一般形式为其中，均为常数。 为了保证映射具有保角性，则 分式线性映射可以分解成由整线性变换与倒径映射两部分。 整线性变换 ——相似变换 平移变换 ，它可以看成是将向量沿向量的方向平行移动一段距离。 2．旋转，伸缩变换 设，那么，见下图。 整线性变换 的特点是原图形的形状并没有改变，仅改变了大小和位置，故又称为相似变换。 例 求将平面上的等腰直角三角形顶点分别为映射成平面上的等腰直角三角形其对应点为的函数。 解 这是一个相似变换。设1）—— 平移 ；2)——旋转； 3）。见下图： 二、反演变换（或称为倒径映射） 它又可以分成1）=——关于圆周对称的映射；2）——关于实轴对称的映射。因为==,而. 而。若令 ，，则原分式线性映射就变为。 所以分式线性映射是由整线性变换与倒径变换合成的。 分式线性映射在除去原点外，在复平面上是处处保角的，且也是一一对应的。规定在扩充的复面上，映射将变为，而将=变为,所以在扩充的复面上，分式线性映射是处处保角的。 三、分式线性映射的性质： 1) 具有保角性； 2）具有保圆性。因为在平面上的圆的一般方程为通过映射后，则变为平面上的。分析 .当时，将圆周变为圆周； 当，则圆周变为直线； 当，则直线变为圆周； 当，则直线变为直线。 如果我们把直线看成为半径为无穷大的圆，则分式线性映射就具有保圆性。由保圆性，我们可以推知：在分式线性映射下， Ⅰ.若给定的二圆周上没有点映射成无穷远点时，则二圆周的弧映所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域； II. 若给定的二圆周上有一个点映射成无穷远点时，二圆周的弧映所围成的区域映射成一圆弧与一直线围成的区域； III. 若二圆周交点中的一个映射成为无穷远点