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交通大学2000年保送生数学试题 一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内) 1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( )A．星期四 B．星期三 C．星期二 D．星期一2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( )A． B． C． D．3．方程cos2x(sin2x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是 ( )A． B．m (3 C．m (1 D．4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( )A．pm B．p2m C．qm D．q2m5．设f ’(x0)＝2，则 ( )A．(2 B．2 C．(4 D．4 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 1．设f(x)的原函数是，则__________． 2．设，则函数(的最小值是__________． 3．方程的解x＝__________． 4．向量在向量上的投影__________． 5．函数的单调增加区间是__________． 6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________． 7．方程7x2((k+13)x+k2(k(2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是__________． 8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．三、证明与计算（本题61分） 1．(6分)已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有，．试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝(f((x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．3．(8分)求极限．4．(10分)设在x＝0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．(b,c0)5．(8分)证明不等式：，．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． 7．(11分)如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．一、填空题（每小题10分，共60分） 1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，即1；2，3；4，5，6；……．令an为第n组数之和，则an＝________________． 2．＝______________． 3．＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________． 5．正实数x,y满足关系式x2(xy(4＝0，又若x≤1，则y的最小值为_____________． 6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分） 1．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n项和Sn． 2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明． 3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于，求该棱锥的体积．() 4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形． 5．设，其中xn,yn为整数，求n→∞时，的极限． 6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论． 2001年上海交通大学联读班数学试题 一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数的位数是________________． 2．若log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝log4[log2(log3z)]＝0，则x+y+z＝_________． 3．若log23＝p，lo