一维插值方法及二维插值方法.pptVIP

数学建模讲座  函数插值与数据拟合 胡支军 贵州大学理学院数学系 贵州赛区组委会 作为一个模型，它要与模型的实际背景接轨，而数据资料就是数学模型与现实问题接轨的重要途径和手段。因此在建模过程中处理好数据资料和模型的关系是非常重要的。 在建模的过程中数据资料以下面几种方式对数学模型起作用： （1）在建模过程中，特别是在建模的初期数据资料能够对所构架的模型给出提示。有些模型（我们称之为经验模型）则是完全建立在数据的基础上的。 （2）数据可以用来对模型的参数给出估计。 （3）数据资料还可以用于检验模型的效果。 例如在工程实践和科学实验中，常常需要从一组试验观测数据( )，i= 0, 1, …, n 之中找到自变量x与因变量y 之间的函数关系，一般可用一个近似函数y = f (x)来表示。 函数y = f (x)的产生办法因观测数据和要求不同而异，通常可采用数据拟合与函数插值两种办法来实现。 问题：给定一批数据点（输入变量与输出变量的数据），需确定满足特定要求的曲线或曲面。如果输入变量和输出变量都只有一个，则属于一元函数的拟合和插值；若输入变量有多个，则为多元函数的拟合和插值. 解决方案： （1） 若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； （2） 若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。 插值可以理解为，要根据一个用表格表示的函数，计算表中没有的函数值。 Method可取： ‘nearest’ ：最邻近插值；‘spline’ ：三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值;缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 用MATLAB作插值计算 一维插值函数： yi=interp1(x，y，xi，method) 插值方法 被插值点 插值节点 xi处的插值结果 例:在 上取11个点，作三次样条插值, 观察三次样条插值曲线与g(x)的误差. 用MATLAB作三次样条插值计算 x0=linspace(-5,5,11); y0=1./(1+x0.^2); x=linspace(-5,5,100); y=interp1(x0,y0,x,spline); x1=linspace(-5,5,100); y1=1./(1+x1.^2); plot(x1,y1,k,x0,y0,+,x,y,r); M文件yangcha.m 用MATLAB作三次样条插值计算 返 回 为例，作三种插值的比较 例：以 插值方法的比较 n=11;m=101; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2); z=0*x; plot(x,z,y,x,y,k:) pause x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=lagr1(x0,y0,x); hold on, plot(x,y1,r), gtext(Lagr.), pause,hold off, y2=interp1(x0,y0,x); hold on, plot(x,y2,b), gtext(Pies.Lin.), pause,hold off, y3=interp1(x0,y0,x,… spline); hold on,plot(x,y3,m), gtext(Spline) s= x y y1 y2 y3 [x y y1 y2 y3] M文件chazhi1.m 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.5000 0.8000 0.8434 0.7500 0.8205 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 1.5000 0.3077 0.2353 0.3500 0.2973 2.0000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 2.5000 0.1379 0.2538 0.1500 0.1401 3.0000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 3.5000 0.0755 -0.2262 0.0794 0.0745 4.0000 0.0588 0.0588 0.0588 0.0588 4.500