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无穷级数与无穷积分收敛的判别法 数学学院 09 级 （三）班 张柏忱 09041100434 摘要：本文给出了不具有奇点的无穷积分收敛的判别法和具有列奇点的无穷积分收敛的条件，以及无穷级数收敛性的判别法，并进一步讨论无穷级数与无穷积分的关系。 关键词：无穷级数 无穷积分 敛散性 奇点 有界 1.不具有奇点的无穷积分的收敛判别法 无穷积分是定积分在积分区间或被积函数上的推广，其中有积分区间有界但被积函数具有奇点（或对称点）的瑕积分和被积函数没有奇点但积分区间无界的无穷积分。对于没有奇点非负函数的无穷积分的收敛性，有一些便于应用的判别法。 定理 1 （有界判别法）若f是[ a , +）,上的非负函数，则积分收敛充要条件是任意A[ a , +）,有界。 证明 ：由于飞f(x) 0 (a)，故积分是上限A增函数， 因而，还有一种广义积分，它不但被积分函数具有有限或无限的个奇点而且它的积分区间无限，是一种具有奇点的无穷积分，它的敛散性与个别奇点有关，也与无穷区间上这些无穷积分有关，因此，判断收敛性较困难，本文针对一类具有可列奇点的无穷积分进行探讨，给出了判别它收敛的一个简便方法。 定义 设A为无穷集合，auA(u=1,2,…)若存在常数d0，使| ai-aj|d(i=1,2,…,ij),则称{ai}是A上的疏散序列，若{au}还是单调的，则称{au}在A 上是单调函数。 显然，对于单调疏散序列{an}，有an=+或an=-，因此,[ a , +）上的单调疏散序列必须是严格增加的。（-,b]上的单调疏散序列必是严格减少的。 引理 1 若函数f(x)在[ a , +）上单调非负，且无穷积分收敛，则对于[ a ,+）上的任一单调疏散序列（-, b] 级数都收敛。 证明 ：因为{an}在[ a ,+）上单调疏散，所以，{an}严格增加，且存在d0,使又an+1-d(u=1,2…)，又f(x)单调，所以 由于，积分收敛，因此令，得 因为f(a)0,所以级数收敛。 引理 2 若在区间上，函数f(x)单调有界，以a,b为奇点，瑕积分收敛，则存在m,使 （其中，m=inf, M=sup） 证明：由于函数f(x)在[a,b]上单调有界，瑕积分发散。故由ABC判别法知，积分收敛。因为在[a,b]上，不变号。不妨设g(x)所以对任意得 Mg(x) 令a得 因此，存在，使 定理 1 若函数f(x)与g(x)在(a,)上满足下列条件： （1）f(x)单调非负，积分收敛。 （2）f(x)有可列个奇点{}它们在()上单调疏散。对任意的自然数n，收敛且关于n一致有界，则积分收敛。 证明：已知瑕积分收敛且关于n一致有界，因此存在M0，使对于任意的自然数u，有。又因为f(x)单调非负，由引理2 存在，使 已知{}单调疏散，收敛，有引理1 ，级数收敛，有M判别法知，级数收敛，但 因此积分收敛。 注：上述定理的结论也适合于其它条件下的具有有限多个奇点的无穷积分，以及和式中的任何一个积分发散都导致这个区间上的积分发散。 例 1 判断积分的敛散性。 解：容易验证函数f(x)=1/在[1,]上是单调非负的，积分收敛。g(x)=的奇点单调疏散，对任意的自然数，积分收敛，因此，积分收敛。 2.无穷积分收敛性的一个新的判别法 通过建立无穷积分与无穷级数之间的关系，给出了无穷级数敛散性的一个简便的判别法。其结果为：设函数f(x)在区间[]上非负，单调减少，则正项级数与无穷积分的敛散性相同，当无穷级数的函数f(x)为复合函数时，上述的判别法将无法应用。本文利用无穷积分的敛散性，给出了无穷级数的函数具有复合函数情形下的一个新的判别法。 定理2 设为一正项发散级数，又设f(x)为一正值单调下降函数，则 （1）收敛，则收敛； （2）发散，则发散； （3）有界，则与同时收敛或同时发散。 证明：（1）显然由假设可知 两边求和，得 令时，则得到，当收敛，则收敛。 （2）由条件知 两边求和得 令时，得，当发散，则发散。 （3）由条件知，，故易得 亦即两边级数部分和之差不超过一个有限