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用Maple解决 一：问题的背景与提出 二：模型假设 1：合理假设 a：降雨分:布均匀并以垂直降落, 并且直接落在房顶上;b：所有落在房顶上的雨水迅速流入水槽中;c：雨水不从水槽中溅出; d：排水管道顺畅, 没有任何障碍或阻塞; e：假设雨开始下时槽有雨水深度0.01m。 2：符号说明 笔者列出与问题有关的因素及符号说明(表1)。 三：建立模型 参照图1, 根据速度平衡的原理, 对于房顶排水系统有:水槽中水的流量的变化率= 雨水的流入流量- 排水流出的流量。即Vc(t)= Q1- Q0,这里Q1、Q0 分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水流量。房顶雨水的流动情况, 如图2 所示。房顶的面积是bd, 由于房顶是倾斜的, 根据合理假设(1), 实际受雨的水平面积应为bdcosA, 房顶上雨水的流量就是r(t) bdcosA,雨水的流动是沿倾斜的房顶向下的, 从而流入水槽的流量应该是它在铅垂方向的分量, 直接落入水槽中的雨形成的水的流量r(t)π , 即Q1= r( t) bdcosasina+r(t)π。 水槽中水的深度h a 时的状况如图3 所示,槽中水的体积为: 有图3有： cos 有 sin2=2(a-h) 把(3)式代入(1)式得： V(t)=a 下面运用maple对(4)式中t 求导[用v(t)表示]: 根据能量守恒原理有: 这样就得到模型: 四：模型的求解与分析 这是一个表达式比较复杂的微分方程的模型, 直接求解很困难, 因此, 笔者通过求它的数值解来进行分析讨论。不妨取一组数值: a= 0.075 m, b= 6 m, d= 12 m, g= 9.8 m/s^2, A= 0. 002 5πm2, A=π/6, h(0) = 0.01 m(假设槽内有一些积水) 。 下面,运用Maple求( 7)的数值解。 针对房屋管理部门的要求,笔者考虑两种情况: (1) r( t)= 常数。先讨论水槽的深度趋于一个低于0. 075m 的稳定值, 即= 0。 由此得到, 当r= 0.000 305时,水不溢出; 当r 0.000 305时, 水溢出。下面, 笔者运用maple 对这一结论作进一步分析。不妨取r= 0.000 21、0. 000 305、0.000 31 m/s 分别代入方程eq 中求其数值解, 并作出h(t) 的图形(图4~ 6)。 由图4 得知,r= 0.000 21 m/ s, h 为t 的增函数, h 的最大值在0. 035 m 附近; 由图5 得知, r= 0.000 305 m/s, h 为t的增函数, h 的最大值为0. 074 m 附近; 由图6 得知, r=0. 000 31 m/s, h 为t 的增函数, h 的最大值超过0.075 m。 由于各地具体情况不同,各地气象预报部门对于当地各类降水的标准也有些自己的规定。一般而言, 当地气象部门规定24 h 降水量在60 mm 以上的雨为特大暴雨。对于r(t)= 常数这种情形, r 0.000 305 m/s 的强降雨机率几乎为0,因此,这个公司的承诺是能兑现的。 (2) r( t)为周期函数,不妨设为正弦函数,即: 这表明下雨过程是在60s内发生的一个短促的强震雨行为，最大的降雨强度是0.000001m/s，由方程eq得到如下的微分方程： 从图7 可以看出, h(t)的最大值不会超过0. 075 m, 因此,对于第2 种情形, 水槽的水也不会出现溢出的情况, 这个公司的承诺可以兑现。 五：模型的优化与改进 基于长时间特大暴雨的考虑, 可做以下两种改进: (1) 增大排水管的横截面积A,即增大排水管的半径。当排水管半径增大为0. 056 m,对于模型的第1 种情形,r [ 0. 000 36 m/ s, 水槽的水不会出现溢出的情况。图8 是h( t)随时间t 变化的形。h( t)的最大值不会超过0.07 m。对于模型的第2 种情形, 水槽的水不会溢出。图9 是h( t)随时间t 变化的图形。h( t)的最大值不会超过0.01 m。 2) 改变水槽的连接方式, 如图10, 让水槽往屋檐倾斜一定角度, 这相当于增加水槽的容水高度。图9 改进后的h随t 变化示意