复变函数-积分变换laplace.pptVIP

* §3 Laplace逆变换 2.Laplace逆变换的计算 1）用留数计算 2）用Laplace逆变换的性质计算 1.拉氏反演积分 * 已知象函数F(s)求它的象原函数 f (t). 1.拉氏反演积分 右端的积分称为拉氏反演积分. * 2.Laplace逆变换的计算 1）用留数计算 2）用Laplace逆变换的性质计算 * 解 * 解 * §4 卷积 1.卷积的概念 2.卷积定理 * 卷积的概念 如果f1(t)与f2(t)都满足条件: 当t0时, f1(t)=f2(t)=0, 则上式可以写成： 1）两个函数的卷积是指 * 2）性质 交换律 分配律 结合律 * * 2.卷积定理 * 证 * 例2 * 例3 解 * §5 Laplace变换的应用 应用拉氏变换来解线性微(积)分方程（组） * 微分方程的拉氏变换解法 首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解 代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 象原函数 (微分方程的解) 象函数 微分方程 象函数的 代数方程 取拉氏 逆变换 取拉氏 变换 解代数 方程 * 例1 求解 解 * 例2 求解 解 * 例2 求解 解 * Laplace变换 §1 Laplace变换的概念 §2 Laplace变换的性质 §3 Laplace逆变换 §4 卷积 §5 Laplace变换的应用 * §1 Laplace变换的概念 1. 拉氏变换的定义 2.拉氏变换的存在定理 3.常见函数的拉氏变换 * 1. 拉氏变换的定义 * 例1 求单位阶跃函数 解 根据拉氏变换的定义, 有 这个积分在Re(s)0时收敛, 而且有 * 例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数). 这个积分在Re(s)k时收敛, 而且有 k为复数时上式也成立, 只是收敛区间Re(s)Re(k). 解 根据拉氏变换的定义, 有 * 则 f (t)的拉氏变换 2.拉氏变换的存在定理 若函数f (t)满足:(1) 在t ? 0的任一有限区间上分段连续;(2) 当t???时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数 M 0及c ? 0, 使得 |f (t)|? M e c t, 0? t ??. 在半平面Re(s)c上一定存在, 并且在Re(s) c的半平面内, F(s)为解析函数. * Mect f (t) t O y * 所以 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件. 说明：由条件2 可知, 对于任何 t 值( 0?t?? ), 有 若令 则 注1：大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下); * 3.常见函数的拉氏变换 * * * 例3 求 解 * §2 Laplace变换的性质 2.微分性质 3.积分性质 1.线性性质 4.平移性（延迟性） 5.位移性 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足 * * 例4 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换 同理可得 * 2.微分性质 此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程. 特别当 时，有 * 证 * 例1 求 的拉氏变换（m为正整数）。 * 例2 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换（coskt） * 象函数的微分性质: 证 * 例3 求 (k为实数) 的拉氏变换. 解 * 3. 积分性质: 证 * 例4 求 的拉氏变换. 解 * 象函数积分性质: 则 * 例5 求函数 的拉氏变换. 解 * 函数f (t-t)与f (t)相比, f (t)从t = 0开始有非零数值.而 f (t-t)是从t =t 开始才有非零数值. 即延迟了一个时间t. 从它的图象讲, f (t-t)是由f (t)沿 t 轴向右平移t 而得, 其拉氏变换也多一个因子e-st. O t t f(t) f(t-t) * 证 * 例6 求函数 的拉氏变换. 1 u(t-t) t t O 解 * 证 * 例7 求