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整式的乘法与因式分解小结与复习 知识梳理 1. 有关概念 ⑴因式分解：把一个多项式化为 的形式，叫做多项式的因式分解. ⑵提公因式法：把多项式各项的 提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即 .提公因式法的实质是逆用 律. ⑶公式法：把乘法公式 、 逆用，就得到分解因式的公式 ， ，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法. 2. 有关法则 ⑴幂的四个运算性质： 性质名称 语言叙述 表达式 推广 运算级别 同底数 幂的乘法 同底数幂相乘， 不变， 相加 am·an ＝ (m,n都是正整数). am·an·ap ＝ 由乘法运算降为加法运算. 幂的乘方 幂的乘方， 不变，指数 . （am）n = (m,n都是正整数). [（am）n]p = 由乘方运算降为乘法运算. 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂 . (ab)n= (n为正整数). (ambncp)k = . 由乘方运算降为乘法运算. ⑵单项式与单项式相乘的法则：把它们的 、 分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同 一起作为积的一个因式. ⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据 律用单项式去 多项式的每一项，再把所得的 相 . ⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 另一个多项式的每一项，再把所得的积相 . ⑸单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的 ；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 一起作为商的一个 ． ⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的商 ． 3. 有关公式： ⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的 ，即用字母表示为：(a+b)(a－b)= . ⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的 再加上（或减去）这两数的 ，即：(a±b)2= . 思想方法 1. 整体思想 例1 已知，求的值． 分析：根据已知条件，现有知识无法直接求出x的值，由于化简后的结果是，因此我们考虑用整体思想代入的方法来求解，即把代入中即可. 解： ． 当时，原式． 点评：整体思想是从整体上考虑研究对象的整体结构特征，不纠缠于问题的各项具体的细节，本题中现在无法求出x的值，而化简后发现已知和未知中都有，这样便找到了未知和已知之间的“桥梁”. 2. 数形结合思想 例2 如图，边长为（m＋3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ） A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋6 分析已知矩形的一边，要求另一边长．只要知道矩形的面积，问题就能解决，而矩形的面积可以由原来的大正方形面积减去小正方形的面积（m＋3）2－m2＝6m＋9，2m＋3所以另一边长就是2m＋3点评本题以图形的形式出现，是对整式运算能力的考查，体现数形结合但从解题的角度，若将大正方形进行分割也能得出结果，． 计算的结果是 （ ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 分析逆用同底数幂相乘与积乘方公式，＝＝＝2，原式＝1－2＝－1．点评幂的运算灵活运用幂的运算公式是计算正确的关键． 给出三个单项式：，，. （1）在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解； （2）当，时，求代数式的值. 分析答案不唯一，只要任意两个单项式排列组合所得均可解：（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；b2-a2=（b+a）（b-a）；a2-2ab=a（a-2b）； 2ab-a2=a（2b-a）； b2-2ab=b（b-2a）；2ab-b2=b（2a-b）. （2）a2+b2-2ab=（a-b）2，把a=2010，b=2009代人得a2+b2-2ab=1. 点评本题是一道与整式的加减及因式分解有关的开放