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优化理论 许多经济学模型都假设经济主体寻求某个函数的最优值。对消费 者而言，此函数衡量他购买的商品所提供的效用；对企业而言，此函 数衡量利润。在这两种情况中，解的数学特征非常相似。本章介绍所 有这些问题共同的数学结构。对熟悉多变量微积分的读者，本章主要 起复习作用。对仅了解微积分的一些基础概念的读者，本章提供了足 够的数学基础知识。借助于本章，你能了解如何用微积分建立微观经 济学模型。本章还有一个目的，那就是起到参考书作用。对本书用到 的各种数学概念，本章提供有用的参考。 单变量函数最大化 我们从一个简单例子开始。设企业经理想通过销售某种商品实现 最大利润，1企业利润仅取决于所销售的商品数量。利润与产量之 间的这种关系，可写为函数形式： ( ) = （1） 图1 画出了和之间的关系。从图中看，要实现最大利润，产量应该 为∗，所实现的利润为 。如果经理拥有图 2.1 ，找到利润最大化的∗ 产量也就轻而易举。 图1 产量与利润之间的关系 如果企业经理想在利润最大化的产量上生产，产量就应该为∗。 在∗ ⁄ ， = 0 。 但是，企业经理可能没有关于市场的精确信息。这种情况下，他 可能通过不断调整产量来寻找在哪个产量水平上能实现最大利润。例 如，在产量为 时，利润为 ；在产量为 时，利润为 。随着产量 1 1 2 2 从 增加到 ，利润上升。反映此关系的数学表达式为： 1 2 1 ( ) ( ) 本章主要探讨最大化问题。由于“最大化 ”等价于“最小化− ”，所以， 求解最大化问题的方法适用于求解最小化问题。 1 − ∆ 2 1 0 或 0 − ∆ 2 1 （2） ⁄ 其中，∆和∆分别为和的“变化量” 。如果∆ ∆ 0为正，则随 产量增加，利润增加，经理于是增加产量。当产量超过∗水平时， ⁄ ∆ ∆为负，经理就会意识到不能继续提高产量。 导数 ⁄ ( ) 在微小变化时，∆ ∆的极限被称为函数 = 的导数，记 ⁄ ⁄ ′( ) ( ) 为 、 或 。函数 = 在1点的导数的正式定义为