弹性力学-05(gai)幻灯片.pptVIP

代回位移式, 有： （3）求应力分量 应用几何方程及物理方程，可求得应力为： 在 处， 相应的面力： 例: 如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。 P A B l x y 解: （1）假设位移试探函数 （必须满足位移边界条件） 设位移试探函数为（取一项）： 式中：a 为待定常数。 （2）计算形变势能 U： （ a） （ b） 显然，式（a）满足端点的位移边界条件: （3）代入Ritz 法方程，求解 （ c） （ d） P A B l x y 讨论： （1） 中点的挠度： （ e） 而材料力学的结果： 两者比较： 式（a）的结果偏小2%。 如果取如下位移函数： 式中项数 m 取得越多，则求得精度就越高。 （2） 所取的位移函数必须满足位移边界条件。 （3） 位移函数选取不是唯一的，如： P A B l x y 例: 如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。 解: （1）假设位移试探函数 式中：A1、A2 为待定常数。 显然，式（a）满足端点的位移边界条件: （2）计算： 梁的形变势能: （3）代入 Ritz 法方程: P A B l x y 例: 如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。 解: 位移函数 （a） （3）代入 Ritz 法方程: 所求挠曲线方程 : P A B l x y 所求挠曲线方程: 中点挠度: 而材料力学的结果： 1. 位移变分方程 位移变分方程： —— Lagrange 变分方程 （5-4） 虚功方程： （5-5） 最小势能原理： 注：位移分量满足位移边界条件。 位移变分法： 基本思想： 在满足位移边界条件的可能位移中，寻求最接近于精确解的解。 （5-6） 位移变分方程 虚功方程 最小势能原理 平衡微分方程 应力边界条件 等价 位移变分方程与弹性力学基本方程的等性 第五章 用变分法解平面问题 要点： （1）弹性体形变势能的计算、变分法的基本思想 —— 最小势能原理、里兹（Ritz）法、 （2）位移变分法 （3）位移变分法的应用 主要内容 §5-1 弹性体的形变势能和外力势能 §5-2 位移变分方程 §5-3 位移变分法 §5-4 位移变分法的解题 引 言 1. 弹性力学问题的微分提法及其解法： （1）平衡微分方程 （2）几何方程 （3）物理方程 （4）边界条件 应力边界条件； 位移边界条件。 定解问题 求解方法： （1）按位移求解 基本方程： （a）以位移为基本未知量的平衡微分方程; （2）按应力求解 基本方程： （a）平衡微分方程； （b）边界条件。 （b） 相容方程； （c） 边界条件。 （a） 归结为求解联立的微分方程组； 求解特点： （b） 难以求得解析解。 从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程： 2. 弹性力学问题的变分提法及其解法： 基本思想： 在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解； 将定解问题转变为求解线性方程组。 弹性力学中的变分原理 —— 能量原理 直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。 （变分解法也称能量法） （a）以位移为基本未知量， 得到最小势（位）能原理等。 （b）以应力为基本未知量， 得到最小余能原理等。 （c）同时以位移、应力、应变为未知量， 得到 广义（约束）变分原理。 —— 位移法 —— 力 法 —— 混合法 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。 求解方法： 里兹（Ritz）法， 伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。 3. 弹性力学问题的数值解法： （a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） —— 有限差分法； 基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替； 将定解问题转变为求解线性方程组。 典型软件：FLAC 实质： 将变量离散。 （b）对变分方程进行数值求解 —— 有限单元法、边界单元法、离散单元法 等 典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等； —— 基于有限元法的分析软件； UDEC —— 基于离散元法的分析软件； 基本思想： 将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元）， 在小区域（单元）上假设可能解， 最后由能量原理 （变分原理）确定其最优解。 —— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 §5-1 弹性体的形变势能和外力势能 变分法，主要是研究泛函及其极值的求解方法。 所谓泛函，就是以函数为自变量的一类函数，简单地讲，泛函就是函数的函数。 函数： x —— 自变量； y —— 因变量，或称自变量 x 的