电子科大随机信号第三章.ppt

3.4 功率谱密度与互功率谱密度 功率谱密度是功率沿频率轴的密度函数。随机信号的频域分析主要考察它的功率谱与互功率谱。 信号能量 信号平均功率 一般来说，能量总与某一物理量的平方成正比。令电阻R等于1则在整个时间域内实信号的能量和功率： 上式只有两种可能的情况： 能量信号 功率信号 能量信号：如各类瞬变信号(在有限区间取值的非周期信号)； 功率信号：如各类周期信号，常值信号，阶跃信号等。 能量or功率信号 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 为了考察信号能量或功率沿ω轴的密度情况，考虑给定频率处，单位带宽具有的能量和功率。 a.对能量型信号，定义能量谱密度 物理意义：表示能量沿频率轴的密度状况，其总和是总能量。 b.对功率型信号，定义能量谱密度 物理意义：表示功率沿频率轴的密度状况，其总和是总功率。 信号的能量谱密度或功率谱密度沿整个频率轴上的积分正好是信号的能量或功率。 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 因为随机信号几乎总是功率型的，因此，只考虑功率与功率谱密度。随机信号样本功率与样本功率谱 。 随机信号的功率与功率谱定义为样本功率和样本功率谱的统计平均。 定义算数平均算子： 随机信号的功率： 对于平稳信号，R(t,t)=R(0)=Const.因此平稳信号的功率就等于其均方值，即 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 定理3.4 维纳-辛钦定理(Wiener-Khintchine), 平稳信号的功率谱密度满足： 证：对于平稳信号{X(t)}，它的每一个样本函数X(t,ξ)有以下关系： 其中 样本函数X(t,ξ)的功率谱密度： X(t,ξ)的平均功率: 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 X(t,ξ)是{X(t)}的一个样本，因此其功率谱也随着不同的样本变化，对于平稳信号，其功率谱 令 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 维纳-辛钦定理 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 傅里叶资料 Joseph Fourier Born: 21 Mar. 1768 in Auxerre, Bourgogne, FranceDied: 16 May. 1830 in Paris, France Field ：Mathematician, physicist, and historian Known?for： Fourier Transform 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 维纳资料 Norbert Wiener Born: 26 Nov. 1894 in Columbia, Missouri, USADied: 18 Mar. 1964 in Stockholm, Sweden Field： theoretical and applied mathematician Known?for：electronic engineering, and control systems 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 辛钦资料 Aleksandr Yakovlevich Khinchin Born: 19 Jul. 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, RussiaDied: 18 Nov. 1959 in Moscow, USSR Field: Probabilist 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 定义：平稳信号的自相关函数的傅里叶变换 功率谱密度(功率谱) 相关函数 平均功率 物理意义：如果某个ω0处SX(ω0)比较大，则信号X(t)中含有较多的ω0频率分量；如果在某个ω0处SX(ω0)=0，则信号中不含有该ω0频率分量。 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 例3.9 已知随机信号的功率谱如下，求自相关函数与均方值 解：首先进行分解 傅里叶变换对： 均方值： 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 例3.10 正弦信号的功率谱 解： 正的实偶函数，信号的功率全部集中在频率ω0 相关函数 功率谱 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 性质1: 功率谱总是正的实偶函数 鉴于偶函数特点，应用中经常使用单边功率谱： 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 定义：联合平稳信号互功率谱密度为互相关函数的傅里叶变换 性质2 互功率谱具有对称性 a.两种互功率谱的实部相同，而虚部反号 ; b.实信号的互相关函数为实函数，互功率谱的实部都是偶函数，虚部都是奇函数。 物理意义：如果SXY(ω)很大，表明相应频率分量关联度很高；如果SXY(ω)=0，表明相应频率无关联。 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 解：首先 通过傅里叶变换可得 例3.11 讨论(加性)单频干扰：X(t)受到加性的独立正弦分量Z(t)=Acos(ω0t+Θ)