清华大学数学实验报告2.docxVIP

一、实验目的 1.掌握MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法；2.通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题；3.了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。二、实验内容题目1 【问题描述】小型火箭初始重量为m(0)=1400kg，其中包括m1(0)=1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为q=18kg/s，由此产生F=32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度v的平方，比例系数为k=0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度h、速度v、加速度a，及达到最高点时的高度h和加速度a，并画出高度h、速度v、加速度a随时间变化的图形。【分析与解】将火箭的运动分为两个阶段：引擎开启阶段和引擎关闭阶段。引擎开启阶段：在这一阶段，火箭运动符合以下规律：运动时间：；重力加速度：；即时重力：；推力：；空气阻力：；根据牛顿运动定律，火箭的运动方程为：；即：；且有：；及：；用龙格-库塔方法求t=60s时的速度v，在matlab中编程如下：function dv=rockets(t,v)F=32000;g=9.8;m=1400;q=18;dv=(F-0.4*v^2)/(m-q*t)-g;end在实际计算时，取时间间隔为0.1s，运用上述的方法求解火箭在上升阶段结束时的运动学参数。写出运行函数的代码，在matlab中编程如下：tt=0:0.1:60;v0=0;h(1)=0;[t,v]=ode45(@rockets,tt,v0);[t,v]a=(32000-0.4*v.^2)./(1400-18*t)-9.8;fori=1:600h(i+1)=h(i)+0.05*(v(i)+v(i+1));end通过运行以上代码，在matlab中求得火箭引擎关闭瞬间的速度v=267.2612加速度a=0.9143,高度h=12190。引擎关闭阶段：在此阶段，火箭的质量为m=1400-1080=320kg，推力F=0，初始速度v(0)=267.2612，h(0)=12190m。且根据牛顿运动定律，火箭的运动方程为：；即：；且有：；及：；用龙格-库塔方法描述火箭在此阶段的运动方程，在matlab中编程如下：function dv=rockets2(t,v)dv=-0.4*v^2/320-9.8;end接下来求火箭达到最高点时的高度h和加速度a，由于不知道结束时间的具体值，在这里先取一个比较大的时间t=100s，通过比较每段时间结束后的速度v若v0，则停止运行。因而，在matlab中编程如下：tt=60:0.1:100;v(1)=267.2612;h(1)= 12190; [t,v]=ode45(@rockets2,tt,267.2612);fori=1:400if(v(i)=0v(i+1)=0)breakendend;i结果求得i=114，即t=60+114*0.1=71.4s时，火箭几乎已经到达最高点。所以通过设置时间区间为[60 , 71.4]，编程如下：tt=60:0.1:71.4;v(1)=267.2612;h(1)= 12190;[t,v]=ode45(@rockets2,ts,v(1));[t,v]求得在t=71.3s时，v=0.0206m/s，在t=71.4s时，v=-0.9595m/s。因此可认为在t=71.3s时，火箭达到最高点。根据t求解此阶段结束时的加速度a和高度h，在matlab中编程如下：tt=60:0.1:71.3;h(1)= 12190; [t,v]=ode45(@rockets2,tt,267.2612);a=-0.4*v.^2/320-9.8;fori=1:113h(i+1)=h(i)+0.05*(v(i)+v(i+1));end求得火箭达到最高点时的高度h=13116m，加速度a=-9.8。速度，加速度和高度对时间的变化图，编程如下：tt=0:0.1:60;v0=0;h=0;[t,v]=ode45(@rockets,tt,v0);a=(32000-0.4*v.^2)./(1400-18*t)-9.8;fori=1:600h(i+1)=h(i)+0.05*(v(i)+v(i+1));endfigure(1)plot(t,v),grid on,holdonfigure(2)plot(t,a),grid on, hold onfigure(3)plot(t,h),grid on, hold ontt=60:0.1:71.3;v0=267.2612;h(1)= 12190[t,v]=ode45(@rockets2,tt,v0);a=-0.4*v.^2/320-9.8;fori=1:113h(i+1)=h(i)+0.05*(v(i)+v(i+1));endfigure(1)p