测试信号处理技术第三章.ppt

幂级数展开法 长除后得 因此 例3.9 求 的z反变换。 解： 由于给定收敛域| z | | a |是圆内域，则x (n)应是左序 列，X (z)的分子分母应按z的升幂排列进行长除。 幂级数展开法 幂级数展开法 长除后得 因此，最后可得 由上述两个例子也不难看出：同一X (z)，由于收敛域不同， 对应不同的序列。 部分分式展开法 3.4.3 部分分式展开法 部分分式展开法是先将X (z)展成简单的部分分式之和， 这些部分分式由于简单，可以直接或者通过查表获得各部 分分式的反变换，然后相加即可得到序列x (n) 。 考虑到z变换的基本形式为 ，因此通常的做法是先对 展开，然后乘以z ，就把X (z)展成了 的基本 形式，最后得到序列x (n) 。 如果 为有理真分式，并且只含一阶极点， 可以展开为 部分分式展开法 即 (3.75) 式中， zm是 的极点，Am是zm的留数，即 (3.76) 如果中除含有M个一阶极点外，在z = zi 处还含有 一个s阶高阶极点，则应展成 （3.77） 部分分式展开法 即 (3.78) 式中， Am与上同，Bj则为 (3.79) 当展成部分分式之后，可以得到各部分分式的反变换， 相加即可得到x (n) 。 部分分式展开法 例3.10 求 对应的序列。 解： 由 可知： 在 中，有两个一阶极点z1 = 0 ,z2 = 1， 有一个二阶极点zi = 2 ，根据式(3.77)可以展成 部分分式展开法 对一阶极点，按式(3.76)可得 对二阶极点，按式(3.79)可得 部分分式展开法 可得 由于收敛域为|z|2，序列应为因果序列，查表3.2可得 若给定的收敛域是圆内域或圆环域，则其反变换对应的 是左序列或双边序列，同样可用部分分式法来处理，但 必须清楚哪些极点对应左序列，哪些极点对应右序列。 * * 正弦与余弦序列 6．正弦与余弦序列 正、余弦序列可以应用欧拉公式分别分解为两个复指数序列相 加，它们的z变换为两个相应复指数序列z变换的相加，即 则正、余弦序列的z变换分别为 (3.52) 正弦与余弦序列 由以上两式和式(3.51)可得指数衰减（β 1）或增幅（β 1） 的正、余弦序列的z变换为 (3.53) (3.54) (3.55) z变换的性质 3.3 z变换的性质 在离散时间信号的分析和处理中，常常要对序列 进行相加、相乘、延时和卷积等运算，z变换的特性 对于简化运算非常有用。由于z变换的性质与拉氏变 换和傅氏变换所具有的性质相类似，下面将从应用的 角度（不给出证明），讨论某些后述内容中要涉及到 的特性，其它性质将在表3.1中列出。 线性 1．线性 若： 则： 式中a、b为任意常数。 线性特性说明z变换具有叠加性和均匀性，是一种线性变换。 (3.56) 线性 两个序列线性组合后的序列，其z变换收敛域一般 是两个序列收敛域的重叠部分，Rn 取Rxn 和Ryn 中 较大者，Rm取Rxm 和Rym 中较小者，表示为 当序列线性组合中z变换出现零、极点相互抵销 时，则收敛域可能会扩大，看一个例子。 线性 例3.3 序列 ，求其z变换。 解：设 其z变换 由线性特性 线性 由于x ( n ) 和y ( n ) 线性组合序列的z变 换，在z = a处的零、极点相互抵消，收敛 域由| z | a，扩大至整个z平面。 双边z变换的时移特性 2．时移特性（位移性） 时移特性表征序列时移后的z变换与时移前原序列z变换的 关系。这种关系对单边、双边z变换有所不同，分别加以讨 论。 （1）双边z变换的时移特性 序列x ( n )的双边z变换为 Z [ x ( n ) ] = X ( z ) 则序列右移后，其双边z变换为 (3.57) 双边z变换的时移特性 序列左移后的双边z变换为 (3.58) 式中m为任意正整数。 由上述特性表达式可见：如果原序列z变换的收 敛域包括z = 0或z = ∞ ，则序列位移后z变换的零 极点可能有变化；如果原序列z变换的收敛域不包 括z = 0或