大学数学统计篇之参数估计第一章.ppt

* 引言 上一讲，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理. 它们是进一步学习统计推断的基础.  总体 样本 统计量 描述 作出推断 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质. 随机抽样  现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 参数估计 估计废品率 估计新生儿的体重 估计湖中鱼数 … … 估计降雨量 在参数估计问题中，假定总体分布 形式已知，未知的仅仅是一个或几个 参数. 问题分为点估计问题与区间估计问题 点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的 估计值； 区间估计就是对于未知参数给出一个范围， 并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数 参数估计 的真值. 例如， 灯泡的寿命 是一个总体， 根据实际经验 知道， 服从 但对每一批灯泡而言， 参 要写出具体的分布函数， 须确定出参数. 此类问题就属于参数估计问题. 参数估计问题的一般提法： 设有一个总体， 总体的分布函数为 其 中 为未知参数 现从该总体 中随机地抽样， 是未知的， 数 就必 得一样本 再依据该 样本对参数 作出估计， 或对参数 的某已知函数 作出估计. 可以是向量）. （ 完 点估计的概念 设 是取自总体 的一个样本， 是相应的一个样本值. 是总体分布中 的未知参数， 为估计未知参数 需构造一个适当 的统计量 一、点估计的概念 然后用其观察值 来估计 的值. 为 的估计量. 称 为 的估计值. 在不致混淆的情况下, 估计 量与估计 称 值统称为点估计， 简称为估计， 并简记为 注： 估计量 是一个随机变量， 样本的函数， 即是一个统计量， 对不同的样本值， 的估计值 一般是不同的. 完 是 例1 设 表示某型号的电子元件的寿命(以小时计), 它服从指数分布： 为未知参数, 现得样本值为 168 130 169 143 174 198 108 212 252 试估计未知参数 解 由题意知, 即 的均值为 总体 因此, 如用样本均值 作为 的估计量看起来是最 自然的. 解 对给定的样本值计算得 故 与 分别为 的估计量与估 计值. 完 二、估计量的优良性准则 在介绍估计量优良性的准则之前，我们必须强调指出： 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数，是随机变量 . 因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值. 因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性 . 常用的几条标准是： 1．无偏性 2．有效性 3．相合性 这里我们重点介绍前面两个标准 . 1、无偏性 估计量是随机变量， 对于不同的样本值会得到不同 的估计值. 一个自然的要求是希望估计值在未知参 数真值的附近， 不要偏高也不要偏低， 偏性标准. 定义 设 是未知参数 的估计量， 则称 为 的无偏估计量. 由此引入无 若 注： 在科学技术中， 产生的系统偏差. 无偏性是对估计量一个常见而重 为用 估计 而 称 复的要求， 其实际意义是指估计量没有系统的偏差, 只存在随机偏差. 例如， 虽无法说 明一次估计所产生的偏差， 但这种偏差随机地在0的 用样本均值作为总体均值的估计时， 周围波动， 对同一统计问题大量重复使用不会产生 系统偏差. 对一般而言，我们有 定理1 设 为取自总体 的样本， 总体 的均值为 方差为 则 （1） （2） （3） 估计量. 是 的无偏估计量； 样本均值 是 的无偏估计量； 样本方差 是 的有偏 样本二阶中心矩 定理1 设 为取自总体 的样本， 总体 的均值为 方差为 则 （1） 证 （1） 是 的无偏估计量； 样本均值 因为 故 是 的一个无偏估计量. 完 （2） 于是 证 是 的无偏估计量； 样本方差 故 是 的一个无偏估计量. （3） 计量. 证 是 样本二阶中心矩 的有偏估 故样本二中心矩是 的有偏估计量，但 因此它是 的一个渐近无偏估计量. 未必能推出 是 的无偏估计量. 例如， 是 的无偏估量， 但 却不是 的无偏估计量. 因为 而 所以 总体 完 注： 如果 是 的无偏估计量， 是 的函数， 例2 设总体 是来自这一 总体的样本. (1) 求 解 故 是 的无偏估计. 是 的无偏估计； 证明 (2) (1) (2) 而 因 且它们相互独立, 故依 分布定义 由此知 例3 设 是总体 的一个简单随 机样本, 求 使 为 的无偏估计. 解 由于 且相互独立, 于是当