一致收敛的函数列.docVIP

一致收敛的函数列与 极限函数性质讨论 摘要：本文主要研究若一致收敛于，则与将共有哪些性质。在《数学分析》中已研究连续性、可积性、微分与极限互换定理。此外本文讨论了一致连续性、周期性为与共有；当条件加强时，单调性、驻点等性质可平移到上；用反例说明若一致收敛于，但 {}不一致收敛于. Abstacts: Main research in this text if fn( x)s are refrained from rash action consistently in f( x), then fn( x) with which kinds will f( x) have totally.At《 mathematics analysis 》 inside has studied the continuous, can accumulate the sex, differential calculus to change the axioms with extreme limit with each other. In addition this text discussed the consistent consecution, The periodic is to have with f( x) totally;When the term enhances, monotonous, halt to order to wait the kind even move to f( x) top;Say with the versa example Clear if fn( x) is refrained from rash action consistently in f( x), but f‵n( x) inconformity is refrained from rash action in f‵( x) 关键词 ：收敛 一致收敛 连续性 可积 可微 闭区间 单调性 驻点 一致连续 周期性 复合函数 Key words:Refrain from rash action Refrain from rash action consistently Can accumulate Tiny Shut the zone Monotonous Halt to order Consistent consecution Week Period Reunite the function 引言： 在《数学分析》中我们学习了函数列的收敛性与一致收敛性。当收敛于和 一致收敛于，则的一些性质为与所共有。当 的条件加强，可以发现的某些性质可以推广到与上。 函数列及其一致收敛性 如例1 求= ，n=1，2，3，……的收敛域和极限函数。 解： ,而＝0 故 ＝0 故的 收敛域为，＋，极限函数为＝0 x ，＋ 例2 求等比数列= ，n=1，2，3，…… 的收敛域和极限函数。 解：当1时，＝0；当1时＝＋； 当 x＝1时＝1；当x=－1时不存在. 的收敛域为（－1，＋，极限函数为 ＝ 对函数列，我们除了研究它的收敛域外，主要还是研究它的极限函数的分析性质。也就是说，我们将通过函数列的每一项所具有的连续性、可微性和可积性，来讨论其极限函数的相应性质。 从例1，2，3可以看到，例1中的函数列在，＋上收敛，它的每一项在，＋上都是连续的，它的极限函数在 ，＋上也连续。但例2的每一项虽然在收敛域（－1，＋上连续，但极限函数在（－1，＋上不连续。 这说明仅有函数列每一项在D上的连续性并不能保证极限函数在D上的连续性。对可微性和可积性也有类似的问题。那在什么条件下，函数列各项所具有的分析性质能够延续到它的极限函数？这里需要引进——一致收敛。 Def1 设函数列与函数定义在D上，若对使得对一切n和一切都有 成立，则称函数列在D上一致收敛于。记为 。 由此可见，在D上一致收敛的函数列在D上定收敛。反过来，在D上收敛的函数列却不一定在D上一致收敛。 函数列在D上收敛是指在D上每一点都收敛。因此这种收敛是一种局部性的概念。常称这种收敛为“点态收敛”。而一致收敛与点态收敛有着重要区别。一致收敛不仅要求 在D上每点的收敛性，更重要的是它还有整体性。其整体性体现在要求D上所有的点能以“大体相同”的速度趋向于各自的极限。正因为如此，在研究函数列的极限函数性质时，一致收敛起了非常重要的作用。 例3 证明例1中的函数列= 在，＋上一致收敛。 证明：，＋有 ＝ 0，要使 ，只要令即可。故一致收敛于0。 由一致收敛定义可以知道，在D