第12讲 第2章第9节 子群地陪集.pptVIP

子群陪集的概念是对群进行分类的有力工具， 它是由伽罗瓦于1830年首先引入群论的.子群的 陪集实际上就是群的基础集在某种等价关系下的 类.本节中将给出陪集的概念和相关的性质，对 有限群则给出重要的定理—拉格朗日定理，这也 是群论中一个定量的定理. 一、集合的积 二、陪集的引入 例1 右陪集的性质 定义2 三、有关陪集的主要性质 推论 近 世 代 数(Abstract Algebra) 主讲教师 ： 蔡 炳 苓 （河北师范大学数学与信息科学学院) 第9节 子群的陪集 设 为群, 是群 定义 若 ，则 的两个非空子集, 引例 整数加群 ，模n的剩余类： 构成 的一个分类： 现利用群的观点，分析此分类的特点： 即说明整数加群按上面同余关系分类 和利用子群分类是一回事，将其推广至一般群： 命题1： 证明：首先 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 命题2： 注：对同一个群，由同一个子群确定的上述两种等价关系未必相同，因此其左右陪集也不同。下面看一个例子 ～ 在 中的全部不同的右陪集有: 在 中的全部不同的左陪集有: 1） 2） 3） 4） 同样的，对左陪集也有类似性质。 设 是子群 在群 中的所有不同的左陪集，称等式 为群 关于子群 的左陪集分解，而称 为群 的一个左陪集代表系. 关于子群 群 中每个元素属于且只属于一个左陪集， 可以按照其子群 的左陪集分类. 因此群 若 则 上例中左陪集代表系同时是右陪集代表系。 是否所有的左陪集代表系同时是右陪集代表系吗？即 上述猜测是不对的，引发下面两个问题 1）什么时候左陪集代表系同时是右陪集代表系； 2）如何由一个给定的左陪集代表系得到一个对应的右陪集代表系。 定理1??设 ， , ??则? ?是 到 映射. 证明 的个数相同，或者都为无限大或有限且相等。 的左陪集的个数与右陪集 , 的一一 定义 3??称群 的子群 的不同左(右) 在 中的指数. . 陪集的个数(有限或无限)为 记作 例1中 由此可知， 即 是群 关于子群 的一 是群 的一个右陪集代表系. 个左陪集代表系，则 关于子群 定理 2??设 ，则群 陪集都与H含有相同个数的元素. 到 的一一映射;?? ?是 , 的任何一个左（或右） 证明: 到 的一一?? 映射.?? 又由群中消去律成立知它是单射，因而它是 同理， 定理 3(Lagrange定理)?对有限群 ， 则 证明 因为 , 所以 也是有限群， ，且 所以, 在 中左陪集的个数也有限. 设 从而 推论1??有限群子群的阶整除群的阶. 的任一元素的阶都能 推论3??设群 的阶数是n, 则对任意的 , . 推论2 有限群 整除群的阶数.