同济大学高等数学第六版 第七章 微分方程.pptVIP

引例1. 引例2. 列车在平直路上以 一、微分方程的基本概念 例1. 验证函数 例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例3. 求下述微分方程的通解: 练习: 例4. 例5. 2、齐次方程 例1. 解微分方程 例2. 解微分方程 3、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例1. 解方程 4、伯努利 ( Bernoulli )方程 例4. 求方程 一、 可降阶的高阶微分方程 1、 例1. 2、 例2. 求解 3、 例3. 求解 例4. 解初值问题 例4. 2、线性齐次方程解的结构 说明: 定义: 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 定理 2. 3、线性非齐次方程解的结构 定理 4. 定理 5. 例3. 例4. 第三节 二阶常系数齐次线性微分方程: 2. 当 3. 当 总结: 推广: 例1. 第四节 一、 例1. 例2. 例3. 求解定解问题 二、 例4. 例5. 例6. 解: 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 为曲边的曲边梯形面积 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的 切线及 x 轴的垂线, 区间[ 0, x ] 上以 解: 于是 在点 P(x, y) 处的切线倾角为? , 满足的方程 . 积记为 ( 99 考研 ) 再利用 y (0) = 1 得 利用 得 两边对 x 求导, 得 定解条件为 方程化为 利用定解条件得 得 故所求曲线方程为 二、 高阶线性微分方程 解的结构 2、线性齐次方程解的结构 3、线性非齐次方程解的结构 1、二阶线性微分方程 第七章 的方程，叫二阶线性微分方程。 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 的方程，叫 n 阶线性微分方程。 1、二阶线性微分方程的概念 形如 一般地，形如 二、 高阶线性微分方程解的结构 证毕 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 思考: 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 (证明略) 线性无关 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 ② ① 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 证毕 因而 ② 也是通解 . 分别是方程 的特解, 是方程 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程 的通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数, 则该方程的通解是 ( ). 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 的解, 是任意 提示: 都是对应齐次方程的解, 二者线性无关 . (反证法可证) (89 考研 ) 已知微分方程 个解 求此方程满足初始条件 的特解 . 解: 是对应齐次方程的解, 且 常数 因而线性无关, 故原方程通解为 代入初始条件 故所求特解为 有三 常系数齐次线性微分方程 第七章 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u