圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 讲义.docVIP

九年级下册数学——圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系讲义 【1】圆心角定义 在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角． 【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 【定理拓展】 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等 综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等． 【经典例题】 【例1】下列说法中，正确的是( B ) A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( C ) 图2 A.3∶2 B.∶2 C.∶ D.5∶4 【解析】作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1. 在Rt△ODE中，OD==. 在Rt△OEB中，OB===.∴OB∶OD=∶. 【例3】半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( D ) A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 【解析】∵AB为直径，∴OE=0. ∴OE∶OF=0. 【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 【答案】90° 【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________. 【解析】OD⊥AB，OD=DB=AD. 设OD=x，则AD=DB=x. 在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB= x. ∴AB∶BC=1∶=∶2. ∴弦与直径的比为∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】∶2 90° 【例6】如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D. 图6 (1)求证：AC=DB； (2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积. 【分析】求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来. （1）证明：作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=ED.∴EA－EC=EB－ED，即AC=BD. （2）解：连结OA、OC.∵AB=6 cm，CD=4 cm，∴AE=AB=3 cm.CE=CD=2 cm. ∴S环=π·OA2－π·OC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］ =π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（ cm2）. 【例7】如图7所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD. 图7 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出. 证法一：如图(1)，分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD，∴△AOC≌△BOD.∴OC=OD. (1) (2) 证法二：如图(2)，过点O作OE⊥AB于E， ∴AE=BE. ∵AC=BD，∴CE=DE.∴OC=OD. 【例8】如图8，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长. 图8 【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决. 【解】过O作OF⊥CD于F，连结CO. ∵AE=6 cm，EB=2 cm，∴AB=8 cm.∴OA=AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）. 在Rt△OEF中， ∵∠CEA=30°，∴OF=OE=1（cm）. 在Rt△CFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，∴CF==(cm). 又∵OF⊥CD， ∴DF=CF. ∴CD=2CF=2（ cm）. 【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？ 图10 【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量