第一章 2013年考研咨询.pptVIP

6.求方阵A的Jordan标准形： (1) 先求n阶矩阵A的全部初等因子： （其中 可能相同，指数r1,r2,…,rs也可能相同）则A的Jordan标准形由s个Jordan块构成： 一个初等因子 对应一个Jordan块Ji , (2) 利用特征向量的方法求A的Jordan标准形。 A∈Pn×n,如果 是A的单特征值，则对应一阶Jordan块Ji=( )，如果 是A的ri(ri1)重特征值，属于 有k个线性无关的特征向量，则有k个以 为对角元素的Jordan块，这些Jordan块的阶数之和等于 ri. 7.求n阶矩阵A的初等因子的方法： (1)将 E-A用初等变换化成标准形，求出A的所有不变因子，然后将每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因子方幂的积，所有这些一次因子式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）就是A的所有初等因子。 (2)先求出A的所有行列式因子 . 利用 求出A的不变因子 .然后如(1)求出A的所有初等因子. (3)用初等变换将 化成对角形，用相应结论求出A的所有初等因子。 8.证明n阶复数矩阵A与对角矩阵相似的方法： (1)A有n个线性无关的特征向量； (2)A的最小多项式没有重根； (3)A的初等因子都是一次的。 (1) (2) (3) 利用初等因子求不变因子； 9. n阶矩阵A的不变因子，行列式因子，初等因子三者之间的关系： 在A的全部初等因子中,将同一个一次因子 (i=1,2,…,s)的方幂的那些初等因子按降幂排列，当这些初等因子的个数不足n时，就在后面补上适当个数的1，凑成n个。 (j=1,2,…,s),(rnj≥rn-1j≥…≥r1j) 于是： (4)A的所有初等因子的乘积等于A的所有不变因子的乘积,等于 . 基本习题：P197：5；6；12；17；18；19；21；24；26；27. P357: 2；5；6. 四、本章重点掌握的习题： 2. 补充习题：P203：3；5；10；12. 一、基本概念 第五章 二次型 1. 二次型； 2. 二次型的矩阵； 3. 非退化线性替换； 4. 矩阵合同； 5. 标准形； 6. 正惯性指数、负惯性指数、符号差； 7. 正定二次型； 8. 负定、半正定、半负定、不定. 二、基本结论 正定矩阵的若干充要条件；充分条件；必要条件. 一、基本概念 第一章 多项式 1. 整除:在g(x)|f(x)中，没有限制g(x) ≠0，因而整除概念比除的概念要广一些；当g(x)|f(x)且g(x)≠ 0时,有时用表示g(x)除f(x)所得的商式. 2. 最大公因式； 3. 互素； 4. 数域P上的不可约多项式； 5. k重因式； 6. 本原多项式. 二、基本结论 1. 带余除法定理； 如：设f(x)=x6-10x5+6x4-310x3-580x2+20x-1115,则f(12)= . 2. 整除的若干性质； 一些简单性质： (1)任一多项式一定能整除它自身； (2)任一多项式一定能整除零多项式； (3)零次多项式能整除任一多项式； (4)零次多项式只能被零次多项式整除； (5)零多项式只能整除零多项式. 注：整除与数域的关系：多项式的整除关系不会因为系数域的扩大而改变. 3. 最大公因式的表示定理； 4. 两个多项式互素的充分必要条件； 5. 互素的若干性质； 6. 不可约多项式的性质； 注：多项式的可约性与它所属的数域有关;并且可约与不可约都是对次数大于0的多项式而言的，因此对零次多项式和零多项式而言，既不是可约的，也不是不可约的. 7. 因式分解定理； 8. 多项式f(x)的重因式与f /(x)的重因式之间的关系; 9. 多项式f(x)没有重因式的充要条件； 10. 多项式的有理根的相关定理； 11. 多项式可约与数域的关系； 13. Eisenstein 判别定理. 12. 多项式的根的相关结论； 注：多项式的根与数域的关系. 2.常常利用一些特殊多项式来求一个满足要求的多项式. 例如：求出所有的多项式f(x)，使得 (x-1