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第四章 线性系统的稳定性 4-1-1 向量的范数 4-1-2 矩阵的范数 ? 几种常见的矩阵范数： §4-2 平衡状态和稳定性 4-2-2 几个稳定性概念 §4-3 渐近稳定(AS)及其判据 4-3-2 线性定常离散系统的渐近稳定性 §4-4 lyapunov意义下的稳定 例 x(k+1)=Gx(k)，其中 §4-5 有界输入有界输出(BIBO)稳定 §4-6 有界输入有界状态(BIBS)稳定 §4-7 Lyapunov函数法 4-7-1 (实)二次型 ?几个结论： 4-7-2 Lyapunov稳定性定理 ? 给定系统→找Lyapunov函数V(x)： 4-7-3 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 例：某系统 一般的一个实二次型是指n个变量的二次齐次多项式 可写成： 其中qij=qji 。 其系数确定了一个n阶实对称矩阵： Q称为二次型(2)的矩阵。 设x=[ x1, x2, ···, xn]T，则实二次型(2)可记为： f(x1, x2, ···, xn)=xTQx 定义 (实)二次型是x∈Rn的标量函数 f(x1, x2, ···, xn)=xTQx 式中，Q为一实对称n?n矩阵，称为二次型f的矩阵，并将Q的秩称为二次型f的秩。 ?x ? 0 , 若xTQx 0 , 则称二次型f为正定的，Q称为正定矩阵，记为Q0 。 ?x ? 0 , 若xTQx ≥0 ,，则称二次型f为半正定的，Q称为半正定矩阵，记为为Q≥0 。 若xTQx 0 (≤0) ,称f为负定的(半负定的)，Q称为负定(半负定)矩阵，记为 Q0(≤0)。 若f既不是半正定又不是半负定，则称为不定的。 结论1：通过满秩线性变换，x=Py，二次型f可写成： (3)式称为二次型f的一个平方和形式。其中r=rank(Q) 。 进一步，f可写成： (4)式称为二次型的规范形(型)。 其中p称为f的正惯性指数；r-p称为f的负惯性指数； p-(r-p)=2p-r，称为f的符号差。 结论2：任意实二次型，经过适当的满秩线性变换，总可以变成规范型，规范型是唯一的。 结论3：实二次型f(x1, x2, ···, xn)=xTQx 为正定的充要条件是p=r=n； 为半正定的充要条件是p=rn ； 为负定的充要条件是p=0，r=n ； 为半负定的充要条件是p=0, rn。 结论4：实对称方阵Q的特征值都是实数，且存在正交矩阵P(即PT= P-1)，使得 pTQp=p-1Qp 为对角矩阵。 结论5：任意实二次型f(x1, x2, ···, xn)=xTQx均可经过正交线性变换x=Py化为平方和： 其中：?i , ··· , ?n 是Q的全部特征值。 结论6：实对称n?n矩阵Q，?i (i=1, 2, ··· , n )为Q的特征值。（iff = if and only if ） 结论7：若Q0，则 ?i (i=1, 2, ··· , n )为Q的特征值; 结论8：Sylvester（希尔维斯特）判据： 二次型f(x1, x2, ···, xn)=xTQx为正定的充要条件是Q的行列式以及它的多阶顺序主子式均为正，即 引例 如图所示: 外力F0=0 ，得齐次方程 则： 平衡状态： c F0 y k m 对于线性定常系统，可选Lyapunov函数V(x)： (1) V(x)=xTQx ,Q0——V(x)为正定二次型。 V(x)称为二次型Lyapunov函数。 定理 设系统的状态方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。 例 设系统的状态方程为 解：由平衡点方程得 解得唯一的平衡点为x1=0, x2=0, 即xe=0, 为坐标原点。选 故系统是渐近稳定的；且是大范围渐近稳定的。 若V(x)为正定的， 则此系统是渐近稳定的。 定理 设系统的状态方程为 若V(x)为正定的， 则此系统是渐近稳定的。 试确定系统平衡状态的稳定性。 例 设系统的状态方程为 解：显然