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第一章 习题课 一、计算逆序数 二、计算（证明）行列式 2　用化三角形行列式计算 评注 3 用按行按列展开法则降阶计算 4 用拆成行列式之和计算 5 用数学归纳法 评注 6 利用范德蒙行列式计算 评注 小结 三、Cramer 法则 补充练习： 补充练习： 求 一、填空题 本章主要知识点： 1、 行列式定义 2、 行列式性质 3、 按行按列展开法则 4、 Cramer法则 例1 计算下列排列的逆序数，并指出奇偶性. 0 1 1 2 2 3 3 于是排列的逆序数为 为奇数时，排列为奇排列． 为偶数时，排列为偶排列， １　用定义计算（证明） 例２　用行列式定义计算 解 　　评注　本例是从一般项入手，将行标按 标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值， 并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式 的一般方法． 注意 例３　设 证明 　本题证明两个行列式相等，即证明两点: 评注 一是两个行列式有完全相同的项， 二是每一项所带的符号相同． 这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法． 例4　计算 　 本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法， 逐步将所给行列式化为三角形行列式． 若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）； 若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1； 例5　计算 　　评注　本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用． 例6　 解 一共能拆成 个行列式的和，如果两列都取为 全为 的列，则对应的行列式为0，故 评注 　 本题利用行列式的性质：某行（列）写成 两数之和，则行列式可以拆成两个行列式之和． 根据题中元素特点，部分行列式值为零，只需找全不为零的行列式计算它们的和即可. 进一步有：如果n阶行列式每个元素都是两数之和，则行列式可以拆成 个行列式的和； 例7　证明 证 对阶数n用数学归纳法 一般来讲，当行列式已告诉其结果，而要我 们 证明是与自然数有关的结论时，可考虑用数 学归纳法来证明.如果为告诉结果，也可先猜想 其结果，然后用数学归纳法证明其猜想结果成立. 为了将 展开成能用其同型的 表示 本例必须按第n行（或第n列）展开，不能按第1行 （或第1列）展开，否则所得的低阶行列式不是与 同型的行列式. 　　　本题所给行列式各行（列）都是某元素 的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质 （如提取公因子、调换各行（列）的次序等） 将此行列式化成范德蒙行列式． 　　计算行列式的方法比较灵活，同一行列式 可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几 种方法综合应用． 在计算时，首先要仔细考察行列式在构造 上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后， 再考察它是否能用常用的几种方法． 一、填空题 二、计算 有非零解？