线性代数课件线性方程组.pptVIP

主要内容 一、线性方程组的基本定理 二、线性方程组的解法 三、重要定理 四、基本定理的推广 五、小结 (3) 当 时， 可见 故方程组此时无解. 方法二： 对增广矩阵 作初等行变换， (1) 当 且 即 且 时， 此时方程组有唯一解； (2) 当 时， 可见 故方程组此时无解. (3) 当 时， 可见 故方程组此时有无限多个解，且通解为 说明 上述的两种解法各有优缺点：解法一优点是避免 对带参数矩阵的初等行变换，缺点是仅适用于系 数矩阵为方阵的情形；解法二优点是能同时解决 何时无解、何时有唯一解、何时有无穷多解的问 题，并且当系数矩阵不是方阵时，只能用此方法， 缺点是对含有参数的矩阵作初等变换，容易在计 算中出现错误. 对带有参数的矩阵作初等变换时应注意不宜作以下 变换： 诸如 的初等行变换， 这是因为当 时，相当于把矩阵某一行的元素全部变为0，这样变换后的矩阵的秩与原矩阵的秩未必相等； 诸如 的初等行变换， 这是因为当 诸如 的初等行变换， 原因与上面类似. 线性方程组的通解形式是不唯一的，这是由于自 由未知数的选取不同. 时，第 行是零行, 但经变换后该行有可 能变成非零行，这样变换后的矩阵的秩与原矩 阵的秩未必相等； 为了应用方便，常把上述的基本定理分成两个定理来叙述： 定理5 线性方程组 有解的充要条件是 线性方程组 无解的充要条件是 定理6 元齐次线性方程组 有非零解的 充分必要条件是 元齐次线性方程组 只有零解的 充分必要条件是 上述的基本定理可以推广到矩阵方程上，得到下 面两个定理： 定理7 矩阵方程 有解的充分必要条件是 定理9 矩阵方程 只有零解的充分必 要条件是 证明 证明 矩阵方程 有解 证 设 为 矩阵， 为 矩阵， 则 为 矩阵， 因此，若矩阵方程 有解，则 个向量方程 都有解；反之， 量方程 都有解，则矩阵方程 有解. 若 个向 下证充分性： 由于 故有 矩阵的秩的性质5 从而根据定理5知， 个向量方程 都有解, 于是矩阵方程 有解. 再证必要性： 设矩阵方程 有解,从而 个 向量方程 都有解，设为 设 于是， 因此 即 证毕 表明了 的列向量与 的列向量的关系 矩阵方程 只有零解 证 充分性： 都只有零解， 矩阵方程 只有零解. 必要性： 矩阵方程 只有零解 都只有零解， 证毕 说明 定理9阐明了矩阵乘法消去律成立的条件： 当且仅当 时成立； 当且仅当 时成立； 当且仅当 时成立； 当且仅当 时成立. 例5 (定理8) 设 , 则 证 矩阵方程 有解 （根据定理7） （根据矩阵的秩的性质） 因此 * * 第七讲 线性方程组 线性方程组的基本定理