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§7.2 平面应力状态的应力分析.主应力 某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。 三、应力圆 （三）几种对应关系 点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一 方向面上的正应力和切应力； 点 面 对 应 转向对应、二倍角对应 四、主应力和主平面 平面应力状态的几种特殊情况 平面应力状态的几种特殊情况 空间应力状态——三个主应力均不为零的应力状态； * * 一、公式推导： 二、符号规定： 1.α角的正负号 由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。 2.正应力的正负号 拉应力为正 压应力为负 3.切应力的正负号 使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。 例 题 7.1 ? 在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。 例 题 7.2 ? 试分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。 解析：低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。 低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。 例 题 7.3 ? 试分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。 解析：铸铁扭转时，其上任意一点都是纯剪切应力状态。 为便于求得sa，ta ，并直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)来表示。 (一)应力圆的方程式 （二）应力圆的画法 在τα－σα坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力所对应的点a和d 连ad 交σα轴于c点，c即为圆心，cd为应 力圆半径。 a (sx ,tx) d (sy ,ty) c A D 转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。 A D a (sx ,tx) d (sy ,ty) c c a A 2α a b 例 题 7.4 ? 试用应力圆法计算图示单元体e-f 截面上的应力。图中应力的单位为MPa。 例 题 7.5 ? 对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力τmax＜85MPa，试求τx的取值范围。图中应力的单位为 MPa。 a d 切应力等于零的截面为主平面 主平面上的正应力称为主应力 a (sx ,tx) d (sy ,ty) c 例 题 7.6 ? 已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm. 解：1、画各点应力状态图 2、计算各点主应力 1点 2点 (处于纯剪状态) 3点 (一般平面状态) 4点 轴向拉伸压缩 扭 转 弯 曲 平面应力状态的几种特殊情况 §7.3 空间应力状态的概念 s1 s2 s3 sz sx sy tx ty 至少有一个主应力及其主方向已知 sy tx ty sx sz 三向应力状态特例的一般情形 tα sα III II I s3 s2 s1 I 平行于σ1的方向面－其上之应力与σ1无关，于是由σ2 、 σ3可作出应力圆 I 平行于σ2的方向面－其上之应力与σ2无关，于是由σ1 、 σ3可作出应力圆 II 平行于σ3的方向面－其上之应力与σ3无关，于是由σ1 、 σ2可作出应力圆 III II s2 s1 s3 s3 III s2 s1 一点处应力状态中的最大切应力只是 、 、 中最大者。 例 题 7.9 ? 单元体如图示，求三个主应力和最大切应力。 分析： xy平面上为纯剪切状态 --泊松比 对于各向同性材料 §7.4 应力与应变间的关系 = + + + +